可修复人机系统的瞬时可用度分析

冯杰 陈瑶 具香辰 张媛媛 刘东旭

摘 要 文章讨论了人机系统模型，利用定常线性系统及线性算子半群的相关理论，证明了在一定条件下，系统的瞬时可用度（）单调递减，从而保证了系统的可靠性。

关键词 半群 瞬时可用度 单调性 指数稳定性

中图分类号：O211.62 文献标识码：A

Instantaneous Availability Analysis of Repairable Human-machine Systems

FENG Jie， CHEN Yao， JU Xiangchen， ZHANG Yuanyuan， LIU Dongxu

（Department Mathematics， College of Science， Yanbian University， Yanji， Jilin 133000）

Abstract This paper discusses the man-machine system model using invariant linear systems and linear operator semi group theory， proved that under certain conditions， the instantaneous availability （） of the system monotonically decreasing， thus ensuring the reliability of the system.

Key words semi group； instantaneous availability； monotonic； exponential stability

1 模型方程描述

所谓可修复系统就是指当构成系统的部件故障或劣化时能通过各种维修手段使其恢复功能的一类系统，它是可靠性理论中研究的一个重要内容。人机系统是对作为主体的人和所控制的各种类型机器的统称。随着科技的发展，人机系统日益庞大，机器设备的高精度、高性能使人们所担负的工作责任更加重大，存在着由人为失误引起的重大事故发生的可能性，因此我们不但在实际工作中，而且应在理论上解决人机系统的稳定性问题。文献[1]用Laplace变换研究了此模型，给出了Laplace变换公式且指出系统稳定解的存在性；文献[2]证明了系统动态非负解是存在唯一的。文献[3]讨论了系统动态解的渐近稳定性；文献[4]利用算子半群的性质证明了系统解具有指数稳定性；文献[5]研究了单部件可修复系统的瞬时可用度的单调性问题，本文将利用算子半群理论研究人机储备系统的瞬时可用度的单调性。

此可修复系统由一个运行部件和一个热储备部件组成，运行部件发生故障将用储备部件替换，故障后的部件能被及时维修，热储备部件在不替换情况下保持良好状态。系统各状态间转换关系如图1。

此模型可用以下微分-积分方程描述：

（1.1）

为计算方便我们令：

= + + + ， = + + + ， = + + + ，

= [ ， ， ， ， ， ]，

图1

则上述系统模型（1.1）可描述为Banach空间中一个抽象的Cauchy问题：

（1.2）

2 系统解的稳定性

定理2.1 设是相应于0本征值对应的一个非负本征向量，且满足|||| = 1，则系统的非负动态解趋向于系统的稳定解，即，其中为系统的初值。

定理2.2 设是系统的稳态解，满足条件，那么对，，及任意给定的>0，满足 + <0，存在>0，使得，其中（）为系统算子生成的-半群。

由上述定理可知，系统解具有渐近稳定性和指数稳定性，稳定速度较快，并且。但如果瞬时可用度（）在[0，+）上不单调，则不能保证在[0，+）上总有（）≥，此时系统的牢固可用度未必是，系统将不可靠。

下面我们讨论瞬时可用度的单调性问题。

3 系统瞬时可用度的分析

在此部分，我们设（） = ， = 3，4，5，其中为常数值，则系统（1.1）可化为：

令

则此方程可抽象为

其中

解（3.4）-（3.5）得

（3.6）

由此可求得，其中依照文献[3]中的定义，（ = 1，2，3）为的特征值。

由于的特征值均为负，易验证（）<0，即（）单调递减。

下面我们先选取一组数据，取不同的来模拟系统瞬时可用度（表1）：

表1

表2

利用Matlab可做出以上数据对应的瞬时可用度的数值模拟图像（Ⅰ）（Ⅱ） （Ⅲ） ：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

下面我们再取不同数据对比瞬时可用度（表2）：

以上数据对应的瞬时可用度的模拟图像为（Ⅰ） （Ⅳ）：

（Ⅰ）

（Ⅳ）

因此，由于系统的瞬时可用度（）在[0，+）上单调递减，故总有（）≥。在此模型中，，即牢固可用度就是稳态可用度，系统是可靠的。

基金项目：延大科合字（2013）第17号

参考文献

[1] LAM Yeh.” The rule occurren of failure.” Journal of Applied Probability，1997.34（1）：234- 247.

[2] A bbs B S， Kuo W. Stochastic effectiveness model for human-machine systems. IEEE Trans.Systems，M an， Cybernetics， 1990.20（4）：826-834.

[3] Wang Li-Qiao，Zhang Yu-feng， Piao Dong-zhe. The Asymptotic Stability and Reliability of the Solution of a Repairable Standby Human-Machine System. Mathematics In Practice And Theory，2007.37（19）：118-126.

[4] Dongxu Liu， Wenyi Si， Zhe Yin. Exponential Stability Analysis of the Solution of a Repairable Human-Machine System. Scientific Journal of Control Engineering，2014.4（3）：86-93.

[5] 刘东旭，司文艺，袁玉娇.一类单部件可修复系统的稳定性及可靠性分析[J].延边大学学报（自然科学版），2014.40（1）：15-19.