从一道高考题品味电流有效值与平均值

张慧敏

（秦皇岛市第一中学，河北 秦皇岛 066000）

2008年全国高考Ⅱ卷理综试卷的第24题，综合性地考查了电磁感应、安培力、电流热效应等相关知识，尤其是对电流的有效值与平均值的考查，真是让人有“耳目一新”之感，非常值得回味.现将本人对此题的一点粗浅认识，与广大同仁探讨.

图1

原题.如图1所示，一直导体棒质量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面.开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度v0，在棒的运动速度由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度I保持恒定.导体棒一直在磁场中运动.若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应电动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率.

当棒的速度为v时，感应电动势的大小为E＝B l v．棒中的平均感应电动势为．可得

导体棒中消耗的热功率为P1＝I2r．负载电阻上消耗的平均功率为，可得

高考答案一公布，许多教师都对“负载电阻上消耗的平均功率”求解方法持有异议.因为大部分教学资料上都一再强调“电磁感应问题中，求电荷量用平均值，求热用有效值”.有的教师还给出了新解.

新解：平均感应电动势的求解同上.

设导体棒的速度从v0减小到v1所用时间为t，则由动量定理得

设负载电阻消耗的能量为

则负载电阻消耗的平均功率为

本人认为此题正是切中了教师平时教学中的弊病——只重视教授解题方法，不注重加深学生对基本概念的理解.新解固然正确，但其应用的内容在新版教材中已属于选修内容，教师之间探讨交流尚可，平时教学中不可能将选修内容全部教授给学生.我猜想此题出题人的意图也不是想考查动量定理，其本意应该就是想考查学生对电流平均值与有效值两个概念的理解深度，这也是高考大纲的基本综旨.

本人对原解的认识：首先从电路内部的能量转化入手，用电源的总功率减去内阻消耗功率即为外电路消耗功率.许多教师所质疑的问题主要集中在能否用平均电动势求解电功率上.众所周之，对变化的电流或电压，计算电功、电功率、热量时要用有效值，而不能用平均值.计算电量时则应该用平均值.但是具体问题还要具体分析，当题设条件发生变化了，就不能再套用现成的一些结论了.本题即是一个很好的例子，这也充分体现了高考的灵活性.为了弄清这个问题，下面先简要讨论一下变化电流或电压有效值的来源.

在高中阶段，大部分求解电功的情况均是针对定值电阻，求解定值电阻消耗的电功时，如果定值电阻两端加的是恒定电压，则用W＝UIt或W＝I2Rt＝求解即可.而如果定值电阻两端加的是变化电压，则引入了有效值的概念.那么有效值是如何得出的呢？现举一简例说明.

如图2（a）所示，一定值电阻R两端加上电压U，设电压U 随时间t的变化规律：U＝kt（k为常数），如图2（b）所示，绘制出图像如图2（c）所示（图线是一条抛物线），则图线与t轴所夹面积表示电阻R消耗的电功W.利用数学积分可列式如下：

图2

比较以上两式易知，当定值电阻两端电压是变化电压时，有效值和平均值肯定是不相等的.所以，当把一变化的电压加在一定值电阻两端时，欲求电阻上消耗的电功、电功率、电热等问题时必须用有效值.故有效值是求解变化的电压（或电流）加在定值电阻上产生电热的一种等效方法.

而在2008年全国Ⅱ卷理综试卷第24题中，通过负载电阻的电流强度I保持恒定，而负载电阻的阻值应该是均匀减小的.本人认为在这种情况下就不存在“有效值”之说了.故要想求负载电阻上消耗的电功率就要另觅它法.

图3

方法之一就是原解给出的那样，抓住电流I恒定及感应电动势E随时间t均匀变化，绘制出IE-t图像如图3所示.

图中阴影部分面积即表示电源的总功，即

电源的平均功率为