例谈直线与半径已知圆相切圆心坐标确定的“秒杀法”

王震伟

近些年全国各地的中考压轴题大多数是数形结合题。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.初中数形结合是将初中所涉及的平面几何知识和一次函数、反比例函数、二次函数相结合的一种题型.那么坐标系中直线与圆相切问题是各地中考中的热门考点，下面我就直线与圆相切确定圆心坐标的解题思想谈谈想法.

一、知识解读

要快速解决所有直线与圆相切问题的解法，就必须先理清以下问题。

问题1：到已知直线l距离为d的点有几个？

问题2：与已知直线l相切且半径为d的圆，这样的圆心有几个？

上诉两个问题其实是一个问题，通过图像我们可以理解这样的点有无数个，就是在到已知直线l距离为d的两条平行线上（如图1）。考试时不可能让我们求无数个解的，一定还会有个条件限定它，如在某直线上、双曲线上、抛物线上、矩形的一边上等，这样根据两个条件就可以确定与已知直线相切的圆的圆心位置.

图1

二、范例讲解

范例：已知：如图2，直线y=-■x+3交坐标轴与A、B两点.

（1）在x轴上找一半径为1的⊙P与直线AB相切，求P点坐标；

（2）在直线y=2x-2上找一半径为1的⊙P与直线AB相切，求P点坐标；

（3）在矩形AOBC上找一半径为1的⊙P与直线AB相切，求P点坐标.

图2 图3

范例解答思路分析：第1小题比较简单，但平时学生解答时经常漏解，或者是把半径画成了与轴垂直的线段从而错解，造成这些错误的原因都是对直线与圆相切问题的本质理解不透.直线与圆相切问题考点本质是考圆心到直线的距离，我们从知识解读里可以了解这3个问题的解答思路分两步：第一步是求到直线AB距离为1的两条平行线，圆心首先要满足这个条件，第二步是求这两条平行线与相关直线（或图像）的交点坐标.我们带着这样的思路可以解答所有在不同图像上的大小确定的圆与已知直线相切的问题.

范例解答：如图3，A点坐标（0，3），B点坐标（4，0），AB由勾股定理得是5.半径为1的⊙P与直线AB相切，其圆心在平行于AB且到AB距离为1的两条平行线EF和MN上.根据平行线性质，两直线平行k相同，我们要确定一条平行线的解析式，只要求出一个点坐标即可，一般当既可求轴交点坐标，又可求轴交点坐标时，我们优先考虑求轴交点坐标，因为这样平行线的解析式可以“秒杀”了.如图3，由题意可得∠MAG=∠OAB，所以Sin∠MAG=Sin∠OAB？圯■=■？圯■=■？圯MA=■，点M的坐标是（0，■），直线MN的解析式为y=-■x+■；同理可得直线EF的解析式为y=-■x+■.第一步搞定，进入第二步，求这两条直线与轴交点坐标即解决了第1问，与直线y=2x-2的交点坐标即解决了第2问，与矩形AOBC的交点坐标即解决了第3问.

（1）将y=0代入y=-■x+■得x=■，代入y=-■x+■得x=■，所以P■（■，0），P■（■，0）.

（2）y=-■x+■y=2x-2？圯x=■y=■，所以P■（■，■）；

y=-■x+■y=2x-2？圯x=■y=■，所以P■（■，■）.

（3）由图像可知在矩形边上共有四个交点，所以有四解.OA边上的解P■（0，■），OB边上的解P■（■，0），BC边上的解P■（4，■），AC边上的解P■（■，3）.

三、知识升华

由范例我们了解了具体的直线与圆相切圆心坐标的解法，可以归纳一般的解法思想，解答这一类问题.要求某函数图像（这里的函数图像可以是坐标轴所在直线、一次函数、反比例函数、二次函数），或其他几何图形边上是否存在一半径确定的圆与已知直线相切，圆心坐标的确定分两步.第一步根据圆心到直线的距离求出与已知直线平行的两条直线函数解析式，第二步求两条平行线和相关函数解析式或几何图形所在边的交点即可.