一类脉冲微分方程的局部稳定性分析

（重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

（重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

主要研究了一类脉冲微分方程的局部稳定性.首先,建立模型并给出了一些必要的定义、引理和符号的说明；然后,对模型进行线性化,利用Floquet理论证明了模型周期解的局部稳定性.

脉冲微分方程；线性化；Floquet理论；局部稳定性

文献［1］研究了二阶非线性脉冲边值问题解的存在性问题，此处主要研究一类在生物学中普遍存在的脉冲型害虫管理模型［2-4］，主要是通过算出模型的周期解，利用线性化和Floquet理论，给出了模型局部渐近稳定的条件.

1 模型建立

考虑一类在不同时刻的脉冲微分方程，如下

其中，χ（t），S（t），I（t），yJ（t），yM（t）≥0；P1（χ（t）），P2（S（t））分别表示害虫和天敌的功能反应函数；r为生长率；β，λ为转化率；dS，dI，dM，dG为死亡率；k为最大环境容量；r，K，β，λ，dS，dI，dM，dG均大于0；0＜τ＜1.

2 预备知识

引理1 考虑下面的脉冲控制系统

其中a（t）是一个T-周期PC（R+，R）函数，p，d是正实常数且p＜1，则系统（2）有唯一的周期解z*（t），对于系统（2）任意的解z（t），z（t）→z*（t）当t→∞，其中

3 模型的局部稳定性分析

有下面一些条件：

假如Ψ（t）是式（10）的基本解矩阵，则有唯一的可逆矩阵M∈Mn（R），使得Ψ（t+T）=Ψ（t）M（t∈R），被称为式（10）的单值矩阵.所有单值矩阵是相似的，且相同的特征值λ1，λ2，…，λn，被称为式（10）的Floquet乘数.

［1］刘锐，李树生.无界域上二阶非线性脉冲边值问题解的存在性［J］.重庆工商大学学报：自然科学版，2011，28（5）：441-443

［2］HUN K B，SANG D K，KIM P.Permanence and Stability of an Lvlevtype Predator-prey System with Impulsive Control Strategies［J］.Mathematical and Computer Modelling，2009（50）：1385-1393

［3］GEORGESCU P，ZHANG H，CHEN L.Bifurcation of Nontrivial Periodic Solutions for an Impulsively Controlled Pest Management Model［J］.Mathematical and Computer Modelling，2008（202）：675-687

［4］ZHANG SW，WANG FY，CHEN LS.A Food Chain Modelwith Impulsive Perturbations and HollingⅣFunctional Response［J］. Chaos，Solutions and Fractals，2005（26）：855-866

一类脉冲微分方程的局部稳定性分析*

郑 伟

Analysis of Local Stability for a Class of Impulsive Differential Equations

ZHENG W ei
（School of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

This papermainly studies the local stability for a class of impulsive differential equations，firstly sets upmodeland gives illustration for some necessary definitions，lemmasand symbols，then verifies the local stability of the periodic solution to themodel by themodel linearization and by using Floquet theory.

impulsive differential equation；linearization；Floquet theory；local stability

李翠薇

O172.1

A

1672-058X(2014)02-0001-07

2013-06-04;

2013-09-06.

国家自然科学基金（10971240）。

郑伟（1989-），男，重庆潼南人，硕士研究生，从事微分方程定性分析.