k-严格伪压缩映象簇公共不动点的强收敛定理

（重庆工商大学计算机与信息工程学院，重庆 400067）

（重庆工商大学计算机与信息工程学院，重庆 400067）

利用投影技巧改进Mann迭代方法,建立了一个新的逼近有限个k-严格伪压缩映象公共不动点的迭代方法,并在一定条件下证明了该方法所产生的迭代序列的强收敛定理。

k-严格伪压缩映象；改进的Mann迭代；公共不动点；强收敛；半闭原理

0 引 言

设H为一个实Hilbert空间，其内积和范数分别表示为＜.，.＞和‖.‖.设K为一个H中的非空闭凸子集，T为一个非线性算子。称T：K→H为k-严格伪压缩映象，如果存在常数k∈［0，1）满足

当k=0时，称T为非扩张映象，即‖Tχ-Ty‖≤‖χ-y‖，∀χ，y∈K。当k=1时，称T为伪压缩映象，如果存在一个常数λ∈（0，1）使得T+λI为压缩映象，则称T为强伪压缩映象。显然，k-严格伪压缩映象是介于非扩张映象和伪压缩映象之间的一类映象形式，并且独立于强伪压缩映象而存在［1，2］。

1953年，Mann［3］介绍了一个逼近非线性算子不动点的迭代方法（Mann迭代）：

其中，序列｛αn｝⊂（0，1）并满足适当的控制条件。此后，非扩张映象和k-严格伪压缩映象的不动点逼近及其应用被许多学者广泛深入研究，并获得了一系列很好地收敛结果［4-10，12］。然而，在无限维Hilbert空间中，通常的Mann迭代只能得到逼近非线性算子不动点的弱收敛定理，即使对非扩张映象也必须改进Mann迭代才能得到相应的强收敛定理。最近，Zhou［10］介绍了一个改进的Mann迭代方法，利用投影技巧研究k-严格伪压缩映象T：K→H的不动点逼近问题。设给定点u∈K，序列｛αn｝，｛βn｝⊂（0，1），该方法定义｛χn｝：

并在适当的控制条件下证明了迭代序列｛χn｝强收敛到k-严格伪压缩映象T的不动点。

1 预备知识

设H为一个实Hilbert空间，K为一个H中的非空闭凸子集。本文以F（T）表示映象T的不动点集，PK表示H在K的投影，并以“”和“→”分别表示序列的弱收敛和强收敛。

引理1［10］设T：K→H为k-严格伪压缩映象，则F（T）为闭凸集。

引理2［10］设T：K→H为k-严格伪压缩映象且F（T）≠φ，则F（PKT）=F（T）。

引理3［6］设H为一个实Hilbert空间，则对任意的χ，y∈H，有

引理4［2，12］设T：K→H为k-严格伪压缩映象，如果Sχ=λχ+（1-λ）Tχ，∀χ∈K，且λ∈［k，1），则S是非扩张映象且F（S）=F（T）。

引理5［10］（半闭原理） 设T：K→H为k-严格伪压缩映象，则I-T在任意点y∈H半闭。

引理6［6］设K为H的一个非空有界闭凸子集。对给定的χ∈H，z∈K，则z=PKχ的充分必要条件是＜χz，z-y＞≥0，∀y∈K。

引理7［11］设｛an｝为一个非负实数列，且｛γn｝⊂（0，1），如果an+1≤（1-γn）an+γnδn，n≥0，并满足条件：

2 主要结果

［1］BROWDER F.Convergence of Approximants to Fixed Points of Nonexpansive Nonlinear Mappings in Banach spaces［J］.Arch Ration Mech Anal，1967（24）：82-90

［2］BROWDER F.PETRYSHYNW.Construction of Fixed Points of Nonlinear Mappings in Hilbert Space［J］.JMath Anal App l，1967（20）：197-228

［3］MANNW.Mean Value Methods in Iteration［J］.Proc Amer Math Soc，1953（4）：506-510

［4］闻道君，邓磊.渐近非扩张映射的粘滞逼近方法［J］.西南师范大学学报：自然科学版，2010，35（3）：32-36

［5］闻道君，邓磊.有限簇非扩张映射的不动点定理及逼近算法［J］.数学物理学报，2012，32A（3）：540-546

［6］MARINO G，XU H.Weak and Strong Convergence Theorems for MYMkMYM-strict Pseudo-contractions in Hilbert spaces［J］. JMath Anal Appl，2007，329：336-349

［7］刘敏.广义平衡问题与无限族k-严格伪压缩映象的强收敛定理［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2011，34（1）：63-70

［8］KIM T H，XU H K.Strong Convergence of Modified Mann Iterations［J］.Nonlinear Anal，2005（61）：51-60

［9］马乐荣，高兴慧.Hilbert空间中闭的拟严格伪压缩映像的收缩投影方法（英文）［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2011，34（6）：780-783

［10］ZHOU H.Convergence Theorems of Fixed Points for Pseudo-contractions in Hilbert Spaces［J］.Nonlinear Anal，2008（69）：456-462

［11］XU H K.An Iterative Approach to Quadratic Optim ization［J］.JOptim Theory App l，2003，116：659-678

［12］ACEDOG L，XU H K.Iteration Methods for Strict Pseudo-contractions in Hilbert Spaces［J］.Nonlinear Anal，2007（67）：2258-2271.

k-严格伪压缩映象簇公共不动点的强收敛定理*

龚黔芬

Strong Convergence Theorem for Common Fixed Point of k-strict Pseudo-Contraction Mapping Family

GONG Qian-fen

（School of Computer Science and Information Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

By using Mann iteration method modified by projection technique，this paper sets up a new iteration method for common fixed-pointof the approximation to a finite k-strict pseudo-contractionmapping family and gives the proofs for the strong convergence theorem of the iterative sequence produced by this method under certain condition.

k-strict pseudo-contraction mapping；modified Mann iteration；common fixed-point；strong convergence；semi-closed principle

代小红

O177.91

A

1672-058X(2014)02-0008-05

2013-06-04;

2013-09-06.

重庆市自然科学基金（CSTC 2012jjA00039，CSTC2013jcyjA00031）；重庆市教委科技研究项目（KJ130712，KJ130731）.

龚黔芬（1977-），女，四川梓潼人，硕士，讲师，主要从事计算机应用与算法研究.