Schur不等式的改进及应用

（四川职业技术学院应用数学与经济系，四川遂宁 629000）

（四川职业技术学院应用数学与经济系，四川遂宁 629000）

给出了特征值估计中Schur不等式的一个改进结果及其应用,并通过数值算例显示了所得结果的优越性.

特征值；估计；Schur不等式；应用

0 引 言

1909年，Schur给出矩阵特征值模平方和的一个上界（即Schur不等式）［1，2］

其中λi表示矩阵A的特征值，‖A‖F表示矩阵A的Frobenius范数.随后Kress等［3］得到

文献［4］对矩阵M分块如下

得到

此处得到一个新的改进结果，在某些情况下能得到比式（4）更为精确的估计.文中Cn×n表示所有n阶复方阵组成的集合，lαl2表示向量α的2范数.

1 Schur不等式的一个改进结果

下面给出对Schur不等式的一个改进.

定理1 设A∈Cn×n，设αi，αj为其任意两行，βi，βj为对应的两列，则

由于B与矩阵A相似，故有相同的特征值，设λ1，λ2，…，λn为A的特征值，结合式（1），式（6），式（7）便知定理1成立，证毕.

同时由定理1中i，j的任意性，故可将定理1进一步写成如下形式.

定理2 设A∈Cn×n，设αi，αj为其任意两行，βi，βj为对应的两列，则

其中，h，k如定理1所示.

实际上，还可将定理1，定理2进一步推广，即

定理3 设A∈Cn×n，设αi，αj为其任意两行，βi，βj为对应的两列，则

显然，当p=1时，定理3即为定理1.在某些情况下，若定理1中l h l＜k，可运用定理3，适当选取p值，满足l p l＜1，将l h l和k同时减小.由于l p l＜1，且k中p次数更高，故k减小更快，当p足够小则可能使l hpl＞kp.当然最坏的情况即p=0，此时退化为式（1）.

2 改进不等式之应用

Schur不等式可用于矩阵秩的估计、特征值分布范围估计等［4-6］.因此结合定理1、定理2及定理3，可得到文献［4-6］中相应估计结果的改进，这里仅列出部分相应结果，证明过程与文献［4-6］类似，不再赘述.

3 数值算例

［1］HORN R A，JOHNSON H R.Matrix Analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1985

［2］詹兴致.矩阵论［M］.北京：高等教育出版社，2008

［3］RAINER K，HANSL，DE VIRESR，et al.On Nonnormal Matrices［J］.Linear Algebra Appl，1974，8（2）：109-120［4］屠伯勋.矩阵秩的下界与方阵的非奇异性［J］.复旦大学学报：自然科学版，1982，21（4）：416-422

［5］胡兴凯，邹黎敏.矩阵秩和特征值的估计［J］.西南大学学报：自然科学版，2009，31（12）：99-102

［6］胡兴凯.矩阵特征值不等式［J］.重庆工商大学学报：自然科学版，2012，29（4）：23-26

Schur不等式的改进及应用*

廖 平，王 龙**

On Improvement of Schur Inequality and Its Application

LIAO Ping，WANG Long

（Department of Applied Mathematics and Economics，Sichuan Vocational and Technical College，Sichuan Suining 629000，China）

This paper gives an improved result of Schur inequality in eigenvalue estimate and its application and demonstrates the advantage of the obtained result by numerical examples.

eigenvalue；estimate；Schur inequality；application

李翠薇

O151.2

A

1672-058X(2014)02-0016-03

2013-06-11;

2013-07-27.

四川省教育厅青年基金项目（13ZB0033）.

廖平（1983-），男，四川自贡人，助教，硕士，从事应用数学研究.

**通讯作者：王龙（1983-），男，四川遂宁人，助教，从事应用数学研究.