关注发散思维 培养创新能力

汪君

［摘要］ 社会的发展与创新思维密切相关，而发散思维则是创新思维的坚实基础. 数学学科的本质就是培养学生的思维能力，要培养学生的思维能力就必须提到发散思维. 简言之，学生具备了发散思维能力，就具备了创新思维的潜质. 换句话说，数学学科在培养学生创新思维能力方面具有学科优势.

［关键词］ 发散思维；创新能力；数学教学

何谓发散思维呢？发散思维也称“求异思维”，是创新思维的核心. 发散思维多指思维活动发挥作用的灵活性和广阔程度，是一种不以常规寻求变异，寻求产生多种可能的答案或结论，而不是单一正确答案或结论的思维品质. 杨振宁教授说：“加强发散性思维的训练，是培养学生创新思维能力的‘重点工程”.

既然发散思维如此重要，那么我们在指导学生学习数学之中，如何培养学生的发散思维呢？笔者在长期的数学教学实践中可以从以下几方面对学生进行养成训练.

重视直觉思维的培养

直觉思维是人脑对于突然出现的新事物、新现象、新问题的一种迅速的识别，敏锐而深入的洞察，直接的本质理解和综合的整体判断. 换句话说，直觉思维就是直接领悟的思维认知. 这种思维的特征是快速、直接、跳跃、多向、综合，含有很大的猜想成分，其过程是观察→猜想→结论，从观察到猜想的很短时间内产生许多想法或念头. 数学教育心理学研究表明，三种数学思维中，直觉思维引起的发散性思维因素越多，直觉思维能力就越强，发散性思维能力也就越强. 教学教学过程中，教师应指导学生对问题作多方面的整体观察和合理猜想. 选择题的主要功能就是培养和训练学生的直觉思维能力，因此，在数学教学中，应重视用选择题提高学生的直觉思维能力. 教师在平时的教学中应适当应用选择题训练合理猜想技能，不能只在做试题或试题分析时重视它.

培养逆向思维

逆向思维是发散思维的一种重要形式，它是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题的，表现为定义、定理、公式、法则，逆向进行推理，反向进行证明，从反方向形成新结论. 逆向思维是摆脱思维定式、突破旧有思维框架、产生新思想、发现新知识的重要思维方式. 逆向思维的训练能使学生不受思维习惯的拘束，从而提高他们从反向考虑问题的自觉性.

例1?摇 如图1所示，在△ABC中，∠B=2∠C，∠DAC=90°，求证：CD=2AB.

分析?摇 要证明CD=2AB成立，只需证明AB＝■CD即可，所以取CD的中点M，连结AM，则AM=DM=CM=■CD. 所以只需证明AB=CM或AB=AM或AB=DM即可. 由题设可知，易证AM=AB.

训练侧向思维

侧向思维是发散思维的另一种形式，它是从知识之间的横向相似联系出发，即从同一学科的不同分支出发考察对象，或者用不同的学科知识去模拟、仿造或分析问题的思维方式. 侧向思维利用了事物之间的相似性，它要求不同分支或不同学科的知识与方法能交叉起来，用其他领域的知识与方法来解决本领域的问题. 因此，在数学问题解决教学中，教师应引导学生加强知识之间的横向联系，重视侧向思维的训练，提高学生的创造能力.

联想是一种立体思维，应引导学生带着问题根据某些线索去进行联想，这样的训练引人入胜，它可以使学生的思维广阔，不拘一格，这对活跃思维、诱发创造因子的萌动大有益处.?摇

例2 （勾股定理）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a 2+b 2=c 2. 老师如果照本宣科，让学生自己看课本，学生也能看懂课本对定理的证明方法，但学生很难理解如何能想到这个证明方法. 这时，教师可引导学生从侧向联想.?摇

师：在以前我们的几何证明中，证过这种形式的结论吗？?摇

学生思考后回答：没有. ?摇

师：那么，在以前所学的几何运算中，大家在哪里见过形如“a 2”的式子呢？?摇

学生可能要经过一段时间的思考后才能回答：正方形的面积——S=a 2，圆的面积——S=πr 2.?摇

学生很快可以排除由直角三角形构成圆的面积法，那么就可以专心思考怎样由直角三角形构造出正方形，这样，学生利用几个全等的直角三角形构造出正方形后可找到证明勾股定理的证明方法. 学生在拼正方形的过程中“不太听话”，有不少同学拼出其他的几何图形，找到了不同的证明勾股定理的方法.?摇这样，根据勾股定理的表达式结构形式“a 2”，引导学生侧向思维，并进一步证明或否定，让学生互相讨论、研究，鼓励他们敢于发表自己的独立见解，从而找到证明命题的方法. 这对于学生求知欲的激发、学习兴趣的产生和意志品质的培养都将产生良好的效果.

发展多向思维

发展多向思维是发散思维的典型形式，它是从尽可能多的方面来考查同一问题，使思维不局限于一种模式或一个方面，从而获得多种解答或多种结果的思维方式. 多向思维在解决数学问题时有三种基本形式，即“一题多解”“一题多变”“一法多用”. 因此，在数学教学中，要让学生对同一数学问题从不同的角度去观察、去思考、去分析，以寻求不同的解决问题的方法，进行“一题多解”；也可以让学生对数学问题通过改变条件或改变结论，进行“一题多变”，使学生广泛联想和类比，从而培养学生思维的灵活性和变通性. 同时，还可以指导学生“一法多用”，使学生在学习中做到举一反三、触类旁通.

在平时的学习和复习中，若注重对某些典型习题的多解性、多变性进行挖掘、引申，对题目进行加工、改造，不仅有利于将所学知识纵横联系、融会贯通，还有利于探究能力、发散思维能力与解决问题能力的培养.

例3?摇 如图2所示，AB∥CD，∠B=60°，∠D=50°，求∠BED的度数.

解答?摇 解法一，如图3所示，过点E作EF∥AB，则∠1=∠B=60°. 因为AB∥CD，EF∥AB，所以EF∥CD. 所以∠2＝∠D＝50°. 所以∠BED＝∠1+∠2＝60°+50°＝110°.

解法二，如图4所示，延长BE交CD于点F，因为AB∥CD，∠B=60°，所以∠BFD=60°. 又∠D=50°，所以∠BED＝∠BFD+∠D=60°+50°=110°.

解法三，如图5所示，过点B作BF⊥CD于点F，则∠BGE=∠DGF=90°-∠D=40°，∠EBG=∠ABG-∠ABE=90°-60°=30°. 所以∠E=180°-∠EBG-∠EGB=180°-30°-40°=110°.

解法四，如图6所示，连结BD，因为AB∥CD，所以∠ABD+∠CDB=180°，即∠ABE+∠EBD+∠EDB+∠CDE=180°. 又∠EBD+∠EDB+∠BED=180°，所以∠BED=∠ABE+∠CDE=60°+50°=110°.

……

变式训练1?摇 （图形不变，改变条件或结论）如图7所示，∠B+∠D=∠BED，求证：AB∥CD.

变式训练2?摇 （改变图形）（1）如图8所示，AB∥CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°.

（2）如图8所示，∠B+∠E+∠D＝360°，求证：AB∥CD.

变式训练3?摇 （隐去图形，改为开放的探索性问题）已知AB∥CD，点E为直线AB和CD外一点，若∠EAB＝α，∠ECD＝β，求∠AEC.

分析?摇 由于本题没有给出图形，使得此题成为一道答案不确定的开放性探究题，应针对图形的不同情况分类讨论，逐一求解，本题的图形可是图9~图11等各种图形.

开展数学开放题教学，也是培养学生多向思维的有效途径

数学开放题是指条件不充分、结论不确定、解题方法多样化的题目. 数学开放题以其新颖的问题内容、生动的问题形式和问题解决的发散性，给解题者发挥创造性思维提供了广阔空间，为培养解题者的发散思维能力提供了良好的载体. 数学开放题教学，有利于学生间的交流与合作，有利于培养学生的开拓精神，也有利于不同层次的学习者在解决问题中得到发展，都有自己的收获，因此开放题受到了全世界数学教育界的高度重视.

例4（2006年汉川中考）如图12所示，有下列四个条件：①AE=AD；②AB=AC；③OB=OC；④∠B=∠C. 请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题：_________.

分析?摇 四个条件任取两个，共有6种不同的组合，要求写出相应的6种命题并一一进行研究，这是一个很有价值的研究性课题. 本题中只要求写出一个命题，具有明显的开放性. 通过证明△ABE≌△ACD，即可组建真命题①②→④；②④→①；①④→②等.

点评?摇 本题是条件和结论都开放的试题，可以充分考查学生对几何知识点的整合能力，它一改过去的传统模式，鼓励探究、关注过程，体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”这一新课程理念. 这类开放性试题旨在让学生经历多角度认识问题、多策略思考问题，尝试解释不同答案合理性的数学活动，培养和提高创新意识及自主探索新知识的能力.

当然，思维的内涵是丰富的，学生思维能力培养的途径是多样的，创新思维能力的养成也不是一成不变的. 我们追求学生思维能力的养成，但我们依然不必拘泥于任何形式的思维定式. 不过，我们还是相信这句话：数学学科具有培养学生创新思维学科的优势. 培养学生良好的思维习惯是我们的追求，学生具有良好的思维养成是我们的欣慰，也是我们的职责.