又见“饮马问题”——2013年重庆市数学高考理科试题第7题引发的探究

●李培颖 (侯集高级中学 江苏徐州 221121)

又见“饮马问题”
——2013年重庆市数学高考理科试题第7题引发的探究

●李培颖 (侯集高级中学 江苏徐州 221121)

1 问题提出

例1已知圆 C1：(x－2)2+(y－3)2=1，圆C2：(x－2)2+(y－4)2=9，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ( )

(2013年重庆市数学高考理科试题第7题)

图1

分析本题以圆为背景，考查解析几何中的最值问题.如图1，先求|PC1|+|PC2|的最小值.作点C1(2，3)关于x轴的对称点C3(2，－3)，则

因为两点之间线段最短，所以|PC3|+|PC2|的最小值为|C2C3|的长度，此时点P 在P0处.又因为点P到圆C1上的点M的距离最小值为|PC1|－1，到圆C2上的点N的距离最小值为|PC2|－3，所以

故选A.

另外，本题还可以选择作点C2关于x轴的对称点解决，同样可以得到结果.

求解本题的关键在于“作点C1(2，3)关于x轴的对称点C3(2，－3)”，那么，这一解题切入点是怎样得到的呢?以往解决过类似的问题吗?我们先从一个典故说起.

2 追本溯源

相传，古希腊一位将军遇到一个问题：如图2，从A地出发，到笔直的河岸边(直线l)C'处去饮马，然后再去B地，走什么样的线路最短呢?将军百思不得其解，于是向久负盛名的学者海伦求教.海伦给出的办法是“利用轴对称化折为直”的思想，如图3，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的2侧，作出点B关于直线l的对称点B'，则

从而利用“两点之间线段最短”加以解决：当C'在C 处，即点 A，C，B'共线时，线路最短，其值为 AB'的长度.由于这段典故，上述问题成了一个经典名题，后人称为“将军饮马问题”.

不难发现，例1的求解方法与“饮马问题”的“利用轴对称化折为直”的思想如出一辙.尽管“将军饮马”问题已经流传了近2 000年，但是学生甚至不少教师前所未闻.实际上，我们仔细研究教材，会发现原来教材中也有关于“将军饮马”的问题.

图2

图3

3 教材链接

例2已知 M( －1，3)，N(6，2)，点 P 在 x轴上，求使PM+PN最小时点P的坐标.

(苏教版《数学(必修2)》第106页第21题)

解如图4，作出点N(6，2)关于x轴的对称点 N'(6，－2)，则

由于两点之间线段最短，可知使PM+PN最小时的点P为直线MN'与x轴的交点P0，容易求得直线MN'的方程为

图4

图5

例3已知点 M(1，3)，N(5，－2)，若 x轴上存在一点P，使|PM－PN|最大，求点P的坐标.

(苏教版《数学(必修2)》第129页第23题)

解如图5，作出点N(5，2)关于x轴的对称点 N'(5，－2)，则

因为MN'≥|PM－PN'|，所以使|PM－PN|最大时的点P为直线MN'与x轴的交点P0，容易求得直线MN'的方程为

令y=0，得x=13，故所求点P的坐标为(13，0).

教材上这2道题是有关求直线上一动点到2个定点的距离之和(或差的绝对值)的最值问题.例2是“饮马问题”的模型，是“利用轴对称化折为直”的思想解决的，例3可以看作例2的变形，二者可视为一对姊妹题，解决过程中实际上分别使用了我们熟悉的“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”.通过对这2道题的求解，可以归纳得到此类问题的一般模型及解法：(1)当2个定点位于直线的异侧时，可求得动点到2个定点的距离之和的最小值;(2)当2个定点位于直线的同侧时，可求得动点到2个定点的距离之差的绝对值的最大值.若不满足上述2个条件，则可利用对称性将2个定点变换到直线的异(同)侧，再进行求解.

4 拓展应用

在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的1个动点到2个定点(或1个定点和1个定直线，或2个定直线)的距离之和(差)的最值.许多学生在面对此类问题时感到束手无策，无从下手.此类问题在高考和竞赛中多次出现，在教材中也出现过，它们和“饮马问题”的区别在于动点在曲线上，能否类比“饮马问题”进行求解呢?下面仅举几例进行说明.

例4已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为＿＿ .

(2009年辽宁省数学高考理科试题第16题)

解如图6，设双曲线的右焦点为 F1，由于APF为“折”，受到“饮马原理”的启发，需要化“折”为“直”.利用双曲线的第一定义，知

|PF1|+|PA|的最小值为线段AF1的长度5，从而|PF|+|PA|的最小值为9.

例5已知直线l1：4x－3y+6=0和直线l2：x=－1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )

(2009年四川省数学高考理科试题第9题)

图6

图7

解如图7，抛物线y2=4x的焦点(1，0)记为F，过点P分别向l1，l2作垂线，垂足分别为A，B，则点P到直线l1和直线l2的距离之和为PA+PB.由于PAB为“折”，同例4利用“饮马原理”，化“折”为“直”：直线l2：x=－1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义可知

因为PA+PF的最小值为点F到直线l1：4x－3y+6=0的距离FC，易求FC=2，所以PA+PB的最小值为2，即点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.故选A.

图8

设 P(x，y)，A(2，0)，B(1，－2)，则上式表示点 P(x，y)到 A(2，0)，B(1，－2)的距离之和，即求PA+PB的最大值.由题意，x，y满足条件3x2+4y2=48，即点 P(x，y)在椭圆上，且A(2，0)为椭圆的右焦点.如图8，设椭圆的左焦点为F，类比“饮马问题”的求解思想，由于题目是求最大值，故将“和”转化为“差”，由椭圆的第一定义可知

实际上，类似的问题还有很多.实践证明，利用解决“饮马问题”的思想可使题目轻松获解.

5 反思感悟

体现“将军饮马”的题目在各类考试中多次出现，但这类问题仍成为很多考生的拦路虎.究其原因：

(1)在教学中存在就题论题，不能由此及彼、融会贯通的现象.上文分析的题目，尽管背景不同，但都可以用“饮马问题”的求解思想来解决.因此，教师在教学中不仅要重视“一题多解”培养发散思维，也要重视“多题归一”，让学生在“一题多解、多变，多题归一”中体会数学思维的奥妙，领悟数学解题方法的神奇.

(2)忽视教材习题功能.教材中既出现了以直线为背景的“饮马问题”，也出现了以曲线为背景的“类饮马问题”.教师应善于捕捉课本中的典型例习题加以研究，通过一些拓展性结论提高解题技能，丰富解题经验，最终使学生学会通过处理一个问题解决一串问题的本领.