以“代数运算”为考点的高考试题分析与设计

宋秀娟

摘 要： 本文从高观点角度深入分析了以“代数运算”背景的高考试题，设计了该类型新的高考试题，为该类型题目在高考命题中的设计提供了必要的参考.

关键词： 高中数学 高考试题 代数运算

近几年，全国各个省份的高考数学试题中以“高等数学”为背景的试题不断出现，题目以高等数学为背景，或结合中学数学的知识，在考查学生中学数学知识、方法的基础上进一步考查了学生的创新能力和数学思维能力.这类试题虽然取材于高等数学，但一般都经过“初等化”处理或给出与高等代数有关的定义、定理，要求考生作解答.解答此类型试题只需根据已有知识经验，并结合平时解题时的数学思想方法，并不需要学习有关高等数学的知识.以高等数学为背景的数学试题无论从背景知识还是解题思路方面往往较新颖，因为考生并没有与此相关的知识储备，也没有遇到过类似的背景知识，所以对考生的阅读理解能力的要求更高；试题要求考生有较强的知识迁移能力，能够对比题目所给出的信息，在头脑已有的知识库中搜索相关的知识方法，运用在中学阶段所学习的知识方法解决此类问题.本文以高等数学中的“代数运算”为出发点，分析并设计以其为考点的高考试题.

1.以“代数运算”为背景的高考试题分析

【2012福建·理15】对于实数a和b，定义运算“·”：a·b=a■-ab，a≤b，b■-ab，a>b，设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个不相等的实数根x■，x■，x■，则x■，x■，x■的取值范围是？摇？摇 ？摇？摇.

参考答案：（■，0）

评注：本题考查了数形结合、分类讨论的数学思想方法.解题的关键在于充分理解新定义运算的具体涵义，并结合所学习关于函数的相关知识解题.代数运算经常与函数零点相结合，考查函数方面的知识，2011年天津高考数学文科试题第9题也是类似的命题方式.

2.以“代数运算”为背景的高考试题设计

命题模式：引入一个符号，规定其运算法则，并结合函数、不等式等知识命题，考查函数的零点、周期性、最值、对称性等和不等式的基本性质、均值不等式、柯西不等式等.代数运算的符号可以用任意的符号表示，比如“？茌”、“？茚”、“.”、“·”、“？莓”，题目核心在于运算法则的规定.解答时需充分理解题意，把握试题情景，并结合之前所学习的知识解决，试题考查的着重点在于“旧知识”的考查.解题的突破点是新背景的理解和旧知识的运用.

【改编】（改编自2005年辽宁卷第7题）从函数的角度）在R上定义运算？茚：x？茚y=（1-x）（1+y）.函数f（x）=（x-a）？茚（x+a），若f（x）<-■对任意实数x成立，则实数a的取值范围是？摇？摇 ？摇？摇.

参考答案：（-■，■）

【改编】（从不等式的角度）在R上定义运算？茚：x？茚y=（1-x）（1+y）.关于不等式（x-a）？茚（x+a）<-■

对任意实数x成立，则实数a的取值范围是？摇？摇？摇？摇.

参考答案：（-■，■）.

评注：本题受2005年辽宁高考数学试题的启发，引入新的运算法则“？茚”，并且与函数和不等式相结合，主要考查数形结合思想、不等式的解法、函数的图像和计算等能力.从函数角度的命题思路要求考生从函数的最值出发解不等式，或者从函数角度解决问题.从不等式角度命题的思维角度与从函数的角度命题是有很大的区别的，倘若题目中出现了“不等式”，学生根据关于不等式的知识经验，自然就会想到用解不等式的方法解题.若题中出现“函数”，则学生思维首先定位到函数，运用函数的方法解题.此题型在解答时要先准确把握所给信息本质，然后应用类比等法充分挖掘其内涵，运用新旧知识间的内在联系及迁移规律，将新运算转化为熟悉的数学运算[1].

【自编】（集合的运算封闭角度）定义集合上的运算“？莓”，如果？坌a，b∈A，都有a？莓b∈A，则集合A关于运算“？莓”是封闭的.比如Z、Q、R关于的加法、减法与乘法都是封闭的.下列说法错误的是（B）

A.Q关于除法运算不是封闭的

B.a，b∈Z，a？莓b=a（b+1），则Z关于运算“？莓”是封闭的

C.a，b∈Q，a？莓b=b■+2b■，则Q关于运算“？莓”不是封闭的

Da，b∈Q，a？莓b=■（a+b），则Q关于运算“？莓”是封闭的

评注：本题的背景是“集合上的代数运算”.题干中给出了集合上的代数运算的定义，代数运算的定义为：“集合A上的二元映射？莓：A×A→A也称为A上的代数运算或A关于“？莓”运算封闭”.二元映射“？莓：A×A→A”中又隐含着笛卡尔积“A×A”的概念，在中学阶段并没有相关介绍，因此题目不按照原始的定义出发，而是经过了“初等化”，让没有学过笛卡尔积的学生也能够理解代数运算的含义.这其中充分体现了以高等代数为背景的高考试题的命题原则.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？

3.结语

利用著名数学家高斯解决问题有趣的故事激发学生对等差数列的思考及兴趣，可达到很好的教学效果.把“数学名题”适当地应用到高中数学的教学过程中，不仅能丰富学生的知识面，而且能提高学生的数学素养，达到数学教育的目的.

参考文献：

[1]单墫.数学名题词典[M].南京：江苏教育出版社，2002.

[2]李晓艳.数学名题的教育价值研究[D].辽宁师范大学硕士学位论文，2011.endprint