加强数学思想方法教学

许婉如

摘 要： 数学思想方法是隐性的数学知识，是联系显性数学知识与学生数学能力的纽带，是数学科学的灵魂.小学数学教学的重点应放在数学思想方法上.作为一位数学老师，作者积极尝试在教学中渗透以下数学思想方法：化归思想、数形结合思想、统计思想、假设思想等.

关键词： 数学思想方法 化归 数形结合 统计 假设

小学数学新课标指出：“数学思想方法是对数学规律的理性认识.学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法是数学课程的一个重要目的，应在教学中加强渗透.”数学思想方法是隐性的数学知识，是联系显性数学知识与学生数学能力的纽带，是数学科学的灵魂.数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法；数学教学的目的不在于学生掌握多少数学知识，而在于掌握和运用数学思想方法解决实际问题的能力.因此，数学教学的重点应放在数学思想方法上.

一、渗透“化归”的思想方法

所谓“化归”可理解为“转化”与“归结”的意思，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，以求得解决.任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程.化归是基本而典型的数学思想，教学时经常用到它，如化难为易、化繁为简、化曲为直等.正确运用“化归思想”进行教学，可以促使学生把握事物的发展进程，对事物内部结构、纵横关系、数量特征等有较深刻的认识.

例如，求多边形的内角和.学生在掌握三角形内角和之后，要计算多边形的内角和，可以通过适当添加辅助线，将四边形分割成两个三角形，这样就把所求的多边形内角和的问题转化为计算三角形内角和的问题，四边形内角和=2×一个三角形内角和（180°），五边形内角和=3×一个三角形内角和（180°），六边形内角和=4×一个三角形内角和（180°），n边形内角和=（n-2）×一个三角形内角和（180°）……

又如，学校买了3只篮球和5只足球共付164元，已知买1只篮球和2只足球共需61.5元，问：买1只篮球和1只足球各需多少元？

解法一：以1只篮球和2只足球共需61.5元为化归的对象，把1只篮球和2只足球作为1份数是实施化归的途径，3份数：3只篮球和6只足球的价格为（61.5×3）元是化归的目标，与3只篮球和5只足球的价格为164元进行比较，相差数为1只足球，故得1只足球的价格为（61.5×3-164）元.

解法二：设1只足球价格为X元，则1只篮球价格为（61.5-2x）元

根据题意列方程得3×（61.5-2x）+5x=164

本题中未知数1只篮球价格为化归的对象，方程3（61.5-2x）+5x=164是化归的目标，1只篮球的价格用61.5元减去2只足球的价格表示是实施化归的途径.

二、体现“数形结合”的思想方法

“数形结合”就是通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法.它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.“数形结合”的思想方法，是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是学生建构数学模型的基本方法.“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维与抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征.

例如，教学“植树问题”.模拟植树，得出线上植树的三种情况.

师：“？摇？摇”代表一段路，用“/”代表一棵树，画“/”就表示种了一棵树.请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你有几种种法？学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？教师反馈，实物投影学生摆的情况：

①＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼两端都种

②＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇或？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼一端栽种

③？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇＼？摇 ？摇两端都不种

师生共同小结得出：两端都种：棵数=段数+1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数-1.

又如，爸爸今年的年龄是小明的4倍，爸爸比小明大27岁，爸爸和小明各多少岁？这类题对于四年级学生来说，往往较难解决，但如果老师能够充分重视引导学生在读懂题目的基础上，画出线段图，则大部分学生都能够顺利解决.

从线段图中，我们可以形象地看出，小明今年的年龄用1份线段表示，爸爸的年龄就可以用这样的4份表示，爸爸比小明大的27岁是这样的3份，由此可以引导学生求出1份线段表示的年龄是：27÷3=9（岁），即小明今年的年龄是9岁，爸爸的年龄是：9×4=36（岁）.

教师巧妙利用线段图帮助学生学习，让学生有可以凭借的工具，借助“数形结合”将文字信息与学习基础耦合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得“数形结合”的思想方法真正得以体现.

三、完善“统计”的思想方法

“统计”的基本思想是：从局部观测资料的统计特征推断整个系统的状态，或判断某一论断以多大的概率保证其正确性，或者算出发生错误判断的概率.统计方法是由“局部到整体”、“由特殊到一般”的科学方法.小学数学中，安排了很多独立的单元进行统计知识的教学，在其他领域知识的学习中，都不同程度地应用了统计知识，作为知识呈现的载体和解决问题的方法进行教学[4].

例如，课程标准新增加了“统计与概率”的内容，学习的核心目标是发展学生的“统计观念”和“随机观念”.学生在学习“统计与概率”的过程中，熟悉了它的基本思想方法，从而逐步形成统计观念.有一位学生课后向教师质疑问难：“经常看到这样的叙述：中国13亿人口.为什么不说：中国大约有13亿人口？事实上，中国的人口不可能是完整的13亿呀，零头没说明啊？”教师及时赞赏了这位学生的怀疑精神，举例子说明并引导他明白：日常生活中我们经常会听到“某地区受灾面积达到60%”、“估计第三世界人口的增长率为每年4%”、“这场足球赛，巴西队赢的可能性比较大”、“今天北京地区的降水概率为70%”等语言，这实际上就是人们对客观世界某些现象的一种描述，其中涉及大量的数据.学生在学习过程中，不仅整理和分析信息的能力得到了增强，而且随着学习的深入，逐步形成了尊重事实，用数据说话的科学态度.

四、应用“假设”的思想方法

“假设”思想是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法.假设法是小学数学中比较常用的方法，实际上也是转化方法的一种.假设法实际上是根据原来的数据、数量关系和逻辑关系，做一些数据的改变，把原问题转化成新的问题，而且新的问题易于理解和解决，是一种迂回战术[5].

例如，小明有1角、5角的硬币共35枚，一共是9元5角，问两种硬币各多少枚？这是一道“鸡兔同笼”的数学问题.分析与解答：9元5角=95角，假设这35枚都是1角的，那么总钱数就应该是：1×35=35（角），比实际95角少了：95-35=60（角），这是因为把其中5角的硬币都当成1角了.有一枚5角硬币，少算了5-1=4（角），少算的60角中有几个这样的4角，就有几个5角硬币.60÷4=15（枚），1角硬币：35-15=20（枚）.答：5角硬币有15枚，1角硬币有20枚.

假设都是5角硬币，该怎样解呢？学生自己尝试解答：假设这35枚都是5角的，那么总钱数就应该是：5×35=175（角），比实际95角多了：175-95=80（角）.这是因为把其中1角的硬币都当成5角了.有一枚1角硬币，多算了5-1=4（角），多算的80角中有几个这样的4角，就有几个1角硬币.80÷4=20（枚），5角硬币：35-20=15（枚）.答：5角硬币有15枚，1角硬币有20枚.

此外，在数学教学中还要注意有目的、有选择、适时地渗透集合思想、符号化思想、模型思想等.小学数学思想方法的教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想方法交织在一起.教学实践表明，加强数学思想方法的教学对于提高教学质量，改变“重结论、轻过程，重形式、轻思想”的现状，培养高素质人才有着深远而重大的现实意义.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.小学数学新课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]王嘉年.浅谈数学中的化归思想[J].山东教育，2002（35）.

[3]袁桂珍.数形结合思想方法及其运用[J].广西教育，2004（15）.

[4]范文正.几种基本统计思想的现实意义[J].统计与决策，2002（8）.

[5]徐远亲.用假设法解应用题[J].小学生之友，2002（2）.