渐近拟非扩张型映射的公共不动点

刘 辉

(黑龙江财经学院)

0 引言

设E是实Banach空间，C是非空闭凸集C⊂E，F(T)是映射T的公共不动点集合.

定义1［1］设E是一个实Banach空间，C是E上的非空凸子集.

(1)如果映象P满足如果P2=P，则称P是从E到C的一个收缩核映射.

(2)称E的子集C为E的收缩核，如存在连续的收缩映射满足Px=x，∀x∈C.

(3)称C为E上的非扩张收缩核，如存在非扩张收缩映象P:E→C满足Px=x，∀x∈C.

定义2［1］设E是实Banach空间，C为E上的非空非扩张收缩核，P为从E到C的非扩张收缩映象.设T:E→C为非自映象.

(1)称T为非自渐近非扩张映象，如果存在序列{kn}⊂［1，∞)，满足kn→ 1(n→ ∞)，‖T(PT)n-1x-T(PT)n-1y‖≤kn‖x-y‖，∀x，y∈C，n≥1.

(2)T称为非自渐近拟非扩张映象，若F(T)≠φ，若存在序列{kn}⊂［1，∞)且kn→1(n→∞)满足:

(3)T称为非自渐近非扩张型映象，若

(4)T称为非自渐近拟非扩张型映象，若F(T)≠φ使得

定义3 设E为实Banach空间，C为E的非空凸子集满足C是E上的收缩核，P:E→C的保核收缩映象，T1，T2，…，TN为C到E上的非自渐近拟非扩张型映象，∀x1∈C，具有误差的N步迭代序列{xn}如下:

引理1［2］{an}{bn}为满足下面条件的两个非负实数列:

an+1≤an+bn，∀n≥1，其中，则存在.

1 有误差的N步非自渐近拟非扩张型映象序列的收敛性

定理1 设E是Banach空间，C是E上非空闭凸子集且为E上的收缩核，P:E→C的保核收缩映象，T1，T2，…，TN为C到E上的非自渐近非扩张型映象，i=1，2，…，N是C上的有界列，i=1，2，…，N是［0，1］满足＜∞ ，i=1，2，…，N则 (1)所定义的序列{xn}强收敛于T1，T2，…，TN的公共不动点的充要条件为

证明 (必要性)显然.

(充分性)设T1，T2，…，TN为C到E上的非自渐近拟非扩张型映象，故∀ε＞0，存在正整数n0使得当n≥n0时，有

由于{xn}，{yni}⊂C，i=1，2，…，N-1，对任意n≥n0有

由(1)和(4)有

类似的我们也可证明:

由(6)和(7)有

由归纳法，可以证明对任意

特别地在(8)取i=n-1，有

因此由(5)和(9)有

下证(1)所确定的序列{xn}是柯西列，事实上，对 ∀n≥n0，∀m≥1，∀p∈F，从(10)有

此对n≥n0，m≥1，‖xn+m-xn‖ ≤

由P的任意性，有

因此‖xn+m-xn‖＜ε，因此对任意m≥1，有= 0，这就说明{xn}在C中是柯西列，又因C是E上的闭子集，因此是完备的，因此存在P*∈C，使得xn→p*(n→∞).

最后，证明p*∈F(反证)，假定p*∉F.因为F是闭集，d(p*，F)＞0，因此对任意p∈F，有‖p*-p‖≤‖p*-xn‖+‖xn-p‖，让n→∞，有d(p*，F)≤0，矛盾，因此p*∈F.

注意:容易证明，若在定理1的T1，T2，…，Tn:C→E是连续的，则T1，T2，…，TN的公共不动点集F是闭集.

推论1 设E是一实Banach空间，C是E上非空闭凸子集且为E上的收缩核，P:E→C的保核收缩映象，设T1，T2，…，TN为C到E上的非自渐近拟非扩张映象，且是非空闭集.其中，…，N是C上的N个有界序列，i=1，2，…，N=1，2，…，N.是［0，1］上的序列且满足:

则(1)所定义的序列{xn}强收敛于T1，T2，…，TN的公共不动点的充分必要条件为:

证明 因为T1，T2，…，TN为C到E上的非自渐近拟非扩张映象，由上述定义可知，它们是C到E上的非自渐近拟非扩张型映象.由定理1的结论可知推论成立.

推论2 设E是一实Banach空间，C是E上非空闭凸子集且为E上的收缩核，P:E→C的保核收缩映象，T1，T2，…，TN为C到E上的非自渐近非扩张型映象，且是非空闭集.，i=1，2，…，N是C上的N个有界序列，，i=1，2，…，i=1，2，…，N，是［0，1］上的序列且满足:

则(1)所定义的序列{xn}强收敛于T1，T2，…，TN的公共不动点的充分必要条件为:

证明 因为T1，T2，…，TN为C到E上的非自渐近非扩张映象，由上述定义可知，它们是C到E上的非自渐近拟非扩张型映象.由定理1的结论可知推论成立.

2 结束语

证明了具有误差的序列{xn}收敛于T1，T2，…，TN的公共不动点的充分必要条件为:)=0，其中T1，T2，…，TN为C到E上的非自渐近非扩张映象.

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