在再生核空间中带有积分边值条件的分数阶偏微分方程的近似解

王文佳

(哈尔滨师范大学)

0 引言

分数阶偏微分方程正在广泛应用于流体流动、金融、控制论等各种领域［1-4］.近年来，更多的努力被投入到寻找分数阶偏微分方程的有效解上［5-7］.该文用再生核方法求解一类含有积分边值条件的分数阶偏微分方程.考虑下面的分数阶微分方程:

其中ni(x，t)，g(x)，pj(x)，qj(t)，i=1，2，3，4，5，j=1，2 是已知函数，ai，bi(i=1，2)是给定的常量.ν∈ (0，1)，μ∈ (0，2)，x∈ (0，1)，t∈ (0，T)，U(x，t)是待求函数.以上分数阶微分方程采用Caputo意义下的定义.详见文献［8］.

1 再生核空间

u″(x)∈L2［0，T］，u(0)=0.其内积为

定义 1.2 定义内积空间W12［0，T］ ={u(x)|u(x)}是［0，1］上的绝对连续实值函数，u'(x)∈L2［0，T］}.其内积为:〈u(x)，

定义 1.3 定义内积空间W32［0，1］ ={u(x)|u(x)，u'(x)，u″(x)是［0，1］上的绝对连续实值函数，u″(x)∈L2［0，1］，且aiu(i-1)+

定理1.2 函数空间W32［0，1］是再生核空间.

下证其是再生核空间，由文献［9］中定理1.1知只需证对任意的u(x)∈，存在正数Cx，使得|u(x)|≤Cx‖u(x)‖.因为u(x)=，所以|u″(x)|≤|u″(0)|+

其中m1，m2为待定系数，Ry(x)是的再生核函数，进而Ry(x)满足以下微分方程组:

又由Ry(x)的光滑性得

及边值条件知a1u(0)+b1u'(0)-

故再生核Ry(x)的一般形式为

其系数由上述(4)-(6)共14个方程唯一确定.

定义1.4 令D=［0，1］×［0，T］，定义空间，

2 数值解

在该节中，将以级数的形式给出方程(1)的数值解，为了能够在再生核空间中求解 (1)， 引 入 线 性 算 子→

定 理 2.1Ψi(x，t)∈， 且 是的一个完全系.

定理2.2 方程(7)的解可被表达为u(x，t)

定理2.1，2.2 证明参见文献［9］.从而方程的近似解为

定理2.3 设εn(x，t)是截断误差，则εn(x，t)依范数单调递减.

所以εn(x，t)依范数单调递减.

［1］ Meerschaert M M，Benson D，Scheffler H P，et al.Stochastic solution of space-time fractional diffusion equations.Phys Rev，2002，E 65:1103-1106.

［2］ Benson D A，Wheatcraft S W，Meerschaert M M.Application of a fractionaladvection-dispersion equation，Water Resour Res，2000，36(6):1403-1412.

［3］ Gorenflo R，Mainardi R，Scalas E，et al.Fractional calculus and continuous-time finance.III.The diffusion limit，in:Math Finance，Konstanz，2000，in:Trends Math，Birkhser，Basel，2001.171-180.

［4］ Machado J T.Discrete time fractional-order controllers.Frac Calc Appl Anal，2001(4):47-66.

［5］ Meerschaert M M，Tadjeran C.Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential eqations.Appl Numer Math，2006，56:80-90.

［6］ Tadjeran C，Meerschaert M M.A second-order accurate numerical method for the two-dimensional fractional diffusion equation.J Comput Phys，2007，220:813-823.

［7］ Luchko Y，Srivastava H M.The exact solution of certain differential equations of fractional order by using operational calculus.Comput Math App，1995，29:73-8.

［8］ Podlubny I.Fractional Differential Equations.Academic Press，New York，1999.

［9］ 吴勃英，林迎珍.应用型再生核空间:第一版.北京:科学出版社，2012.

［10］ Cui Minggen，Lin Yingzhen.Nonlinear Numerical Analysis in the ReproducingKernel Space.Nova Science Publisher，New York，2009.