可测函数序列的三种收敛及之间的关系

张勋尘　强国艳

一、可测函数列的三种收敛定义

设（Ω，μ，E）为一测度空间，{fn}n≥1，f均为实值函数.

（1）如果存在一零测集N，使得ω∈Nc有limn→∞fn（ω）=f（ω），则称{fn}几乎处处收敛于f（或a.e.收敛于f），记为limn→∞fn=fa.e.，或fna.e.f.

（2）如果对任给的ε>0，存在N∈E，μ（N）<ε，使得{fn}在Nc上一致收敛于f，则称{fn}几乎一致收敛于f，并记为limn→∞fn=fa.un.，或fna.un.f.

（3）如果对任给的ε>0，limn→∞μ（[fn-f>ε]）=0，则称{fn}依测度收敛于f，并记为fnμf.

二、三种收敛之间的关系

如图所示：