时滞比率依赖种群模型Hopf-Fold分支现象分析

夏 晶 ，郭 爽

(大庆师范学院)

0 引言

1977年，Freedman和 Waltman在文献［1］中提出了一类三维捕食-食饵模型:

这里x(t)，y(t)和z(t)分别表示t时刻食饵，捕食者和顶层捕食者的数量;g(x)是食饵的内部增长函数;p(x)和q(x)分别是捕食者和顶层捕食者的功能反应增长函数;h，s＞0分别是捕食者和顶层捕食者的死亡率;e，m＞0分别是食饵和捕食者的转换率.许多作者对该模型进行了研究，具体参见文献［2-7］.该文主要针对顶层捕食者方程中含有时滞项的情形进行分析，对该模型能否发生Hopf-Fold分支现象进行讨论.

1 Hopf-Fold分支

该文研究的模型如下:

对方程(2)进行非量纲化处理，得到:

其中x0(θ)=φ1(θ)≥0，y0(θ)=φ2(θ)≥0，z0(θ)=φ3(θ)≥ 0，θ∈ ［-τ，0］，x(0)＞0，y(0)＞0，z(0)＞0，‖φ‖ =max{|φ(θ)|:θ∈［τ，0］}，φ(θ)=(φ1，φ2，φ3)∈C(［-1，0］，R3)及这里a，k，c，m，d，f，r，s，e都是正参数.假设方程(3)的正平衡点存在，并记为E*(x*，y*，z*)，其中

在E*处考虑相应的线性化系统，特征值λ满足如下的特征方程:

其中:a2=-m11-m22，a1=m11m22-m12m21，b1=m23m32andb0=m11m23n32.以及

当m11=0时，有b0=0，易知λ=0是方程(4)的一个零根，同时:

这就意味着当a1+b1＜0时，λ=0是方程(4)的一个单零特征根.

接下来把λ=iω代入到方程(4)中，分离实虚部得:

将其化简得:

令ω2=l及h(l)=l2+(a22-2a1)l+(a21-b21)，所以方程(4)就至少有一个正根ω0，同时由(5)式有:

记

所以(±iω0，τ0)是方程(4)的解.

记λ(τ)=α(τ)+iω(τ)是方程(4)满足α(τ0)=0，ω(τ0)=ω0的根，定义，于是当p=p*，τ=τ0时，有下述定理成立:

定理:若a1+b1＜0，当p=p*，τ=τ0，时，方程(4)的特征根除了λ=0和λ=±iω0外，其余特征根都具有负实部.

证明 根据前面的分析，当p=p*，τ=τ0时，方程(4)有一个单零特征根和一对纯虚根.假设方程(4)还具有正实部的特征根，并记为λ=α0+iβ0，那么λ=α(τ)+iβ(τ)就是方程(4)在p=p*和τ=τ0时满足α(τ0)=α0＞0和β(τ0)=β0的根.于是存在一个正数0＜ζ＜τ0，使得当τ∈(τ0-ζ，τ0)时，有α(τ)＞0 成立.

当τ=0时，D(λ，0)=λ3+a2λ2+(a1+b1)λ=0有一个单零特征根和一对纯虚根.进一步:

矛盾.证毕.

2 数值模拟

选择以下参数值进行数值模拟:a=0.312，b=0.171，c=0.360，r=0.312，s=0.123，d=0.396，l=0.571，通过简单的计算，有p*=1.247，τ0=2.186，以(p*，τ0)为分支点，选取三组不同的参数值(p，τ)=(0.467，1.4767)，(2.165，3.178)及 (3.997，10.608)，对应着不同的波动曲线如图1—图3所示.

图1 当p=0.467，τ =1.4767时，平衡点E*(x*，y*，z*)的波动图

图2 当p=2.165，τ =3.178时，平衡点E*(x*，y*，z*)的附近的周期波动图

图3 当p=3.997，τ=10.608时，平衡点附近的爆发行为

当零和一对纯虚根都是这个时滞系统的特征值时会发生Hopf-Fold分支现象.因此，把(p*，τ0)作为分支点，模型(3)的平衡点E*(x*，y*，z*)就会经历Hopf-Fold分支，随着参数的变化，就会出现一些有趣的现象如周期行为、拟周期行为或爆发行为等.

［1］ Freedman H I，Waltman P.Mathematical analysis of some three-species food-chain models［J］.Mathematical Biosciences，1977，3(33):257-276.

［2］ Ginoux J M，Rossetto B，Jamet J L.Chaos in a three-dimensional Volterra-Gause model of predator-prey type.2005，5(15):1689-1708.

［3］ Hastings A，Powell T.Ecology.Chaos in three-species food chain ［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1991，3(72):896-903.

［4］ 郭爽，刘洋，沙元霞，于键.Cause型捕食模型的稳定性与分支分析［J］.吉林大学学报(理学版)，2012，5(50):940-944.

［5］ FariaT，MagalhvesLT.Restrictionson the Possible Flows of Scalar Retarded Functional Differential Equations in Neighborhoods of Singularities［J］.Journal Dynamics and Differential Equations，1996，8(1):35-70.

［6］ 刘振杰，徐亚兰，钮佩琨.一类具有稀疏效应的捕食者-食饵系统的周期解［J］.哈尔滨师范大学自然科学学报，2006，6(22):4-6.

［7］ 欧伯群，秦发金.基于比率的离散型Leslie系统正周期解的存在性［J］.哈尔滨师范大学自然科学学报，2006，6(22):7-10.