几何布朗运动的离散逼近及其应用

朱湘赣

(昆明理工大学理学院, 昆明650093)

1 引 言

对于期望相对增长率为μ的正值随机过程St, 若差dSt/St-μdt作布朗运动, 即满足dSt/St-μdt=σdWt(其中σ为波动率,Wt～N(0,t)为标准维纳过程), 或

dSt=μStdt+σStdWt，

(1)

则称随机过程St的运动为几何布朗运动.可以证明几何布朗运动还可表述为下面两种等价形式：

(2)

(3)

2 离散逼近

假设随机过程St连续取值(正值),其期望相对增长率μ为常数.现考虑St在时间区间[0,t]内的情况. 为达到离散逼近的目的，设St从零时刻开始每隔Δt波动一次，每次波动相互独立、上下波动等可能且波动的相对幅度相同.令n=[t/Δt]及

(4)

则对j=1,2,…,n, 各BjΔt相互独立并服从两点分布:

(5)

其中aΔt表示BjΔt的波动幅度.通过计算易得

(6)

由(4)得

SjΔt=S(j-1)Δt(1+μΔt+BjΔt)，

所以

从而

令ε(Δt)=t-nΔt(0≤ε(Δt)<Δt), 则有

所以

(7)

此为(2)式, 故St服从几何布朗运动.

3 应 用

3.1 应用于股票期权

股票可看作连续交易(休市期虽然不交易，但投资者脑海里无时无刻不在根据各种影响股价的情况变化对股价重新进行评估,因此交易可看作连续进行). 另外，股票价格在无重大消息面的影响之下,其期望相对收益率(决定于其所对应的实体资产的相对收益率)也比较稳定.因此股票价格过程可认为满足离散逼近的相关条件，从而可以用几何布朗运动来描述.

股票期权是指买方在交付了权利金后即取得在合约规定的到期时刻或到期时刻以前按协议价买入或卖出一定数量相关股票的权利. 这里以欧式看涨期权(要到规定的到期时刻方可行权)为例, 设K为敲定价(期权执行价格),V为权利金(期权价格),μ为股票的期望相对收益率,σ为波动率，St为股票现价,T为到期时刻,r为无风险利率.若股票价格满足几何布朗运动方程(2)，则到期时刻股票价格可表示为

(8)

定义股票看涨期权价格为到期时刻期权的即时收益期望的现值，即

V=exp[-r(T-t)]E[max(ST-K,0)]，

(9)

那么由(8)，(9)两式可求得

V=Stexp[(u-r)(T-t)]Φ(d1)-Kexp[-r(T-t)]Φ(d2)，

其中Φ表示标准正态分布的分布函数，

当股票的期望相对收益率为无风险利率r时，便得到Black-Scholes公式[1]

V=StΦ(d1)-Kexp[-r(T-t)]Φ(d2)，

3.2 应用于股票远期合约

股票远期合约是指合约双方约定在某到期时刻按约定的价格买卖约定数量的股票.若不计股息红利，考虑时段[0,T]上从0时刻看在未来某一时刻t约定的远期合约价格，记St为股票在时刻t的价格,μ为股票的期望相对收益率，r为无风险利率，则在未来时刻t约定并以T(T>t)为到期时刻的远期合约价格为Ft=Stexp[r(T-t)]2. 求偏导，

利用(1)，有

=-rStexp[r(T-t)]dt+exp[r(T-t)](μStdt+σStdWt)

=(μ-r)Stexp[r(T-t)]dt+σStexp[r(T-t)]dWt，

即

dFt=(μ-r)Ftdt+σFtdWt，

(10)

故未来时刻t的远期合约价格Ft也服从几何布朗运动.

3.3 应用于GDP的比较

当今中国经济增长速度为世界所关注，下面考虑这么一个问题：若干年后中国的GDP能以多大概率超越第一经济大国美国.

中国近几年GDP增长率波动不大，美国的也不十分剧烈，可以认为两国GDP的年增长率具有独立平稳性;并且在理论上或脑海想象中，可以把GDP看成是时间的连续函数,从而可用几何布朗运动对两国GDP进行拟合.设Xt,Yt分别表示中国和美国在第t年的GDP，并假设其相互独立，且期望年增长率分别为μ1,μ2,波动率分别为σ1,σ2，则Xt,Yt满足(3),即

(11)

(12)

由Xt,Yt的独立性及(11)，(12)两式可得

(13)

lnXt-lnYt～N(lnX0-lnY0+μt,σ2t).

(14)

这里取样时间间隔以年为单位(Δt=1)，μ,σ2的估计可分别利用下述两式进行:

其中r(Xj),r(Yj)分别表示两国GDP在第j年的增长率.

lnX10-lnY10～N(-0.5920,0.0061)， lnX20-lnY20～N(0.0211,0.0121)，

lnX25-lnY25～N(0.3277,0.0152)， lnX30-lnY30～N(0.6342,0.0182)，

从而

P{X10>Y10}=P{lnX10-lnY10>0}=1-Φ(7.5999)=1.4766×10-14≈0.

同理可得

P{X20>Y20}=0.5760, P{X25>Y25}=0.9961, P{X30>Y30}≈1.

这就是说中国GDP在2018年超过美国的可能性几乎没有，2028年的可能性为57.6%，2033年的可能性为99.6%，2038年的可能性几乎为百分之百.

[参 考 文 献]

[1] 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法[M]. 北京：高等教育出版社, 2003.

[2] 田军, 周卫东.期货合约与远期合约的相互关系研究[J].中国管理科学, 2002, 10(z1): 212-216.

[3] 龚光鲁，钱敏平. 应用随机过程教程及在算法和智能计算机中的随机模型[M]. 北京：清华大学出版社, 2004.

[4] http:∥www.tradingeconomics.com