新课程实施以来国内“几何直观”研究综述

蒋会兵　张定强

几何直观是《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》）中明确提出的十大核心概念之一，并将其界定为：“几何直观是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”[1]新一轮基础教育课程改革一直都把重视学生几何直观能力的培养作为数学教学的重要任务之一，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中将几何直观作为空间观念的一部分，而在《普通高中数学课程标准（实验）》中明确提出培养学生的几何直观能力[2-3].为了进一步解析几何直观内涵及教育价值，探究培养学生几何直观能力的策略，一些专家、学者以及一线教师对几何直观进行了大量的研究，取得了丰富的研究成果.本文以新课程实施以来国内关于几何直观的文献为研究对象进行文献综述，主要对几何直观的内涵、教育价值、在教学实际中的应用以及培养策略等方面进行综述，并对几何直观研究进行简要述评，进而探讨几何直观未来的研究走向.

1新课程实施以来国内几何直观的研究现状

1.1几何直观的内涵研究

几何直观作为《标准》中的十大核心概念之一，概念本身具有着丰富的内涵，在数学教学中有着重要的地位和作用.而对于几何直观概念在《标准》中主要是以描述性解释的方式加以界定，主要体现的是几何直观的价值及意义，对几何直观概念的数学本质揭示还不够完善.为了对几何直观的内涵有更深入的理解，研究者们从不同的视角对几何直观的内涵提出了自己独到的见解与看法.

张海生认为几何直观内涵理解主要包含两个层次：一是几何；二是直观.几何主要是指图形，直观就是借助于经验、观测、测试或类比联想，所产生对事物关系直接感知与认识，通过直观建立起人对自身体验和外部体验的对应关系[4].这种层次视角的理解与《全日制义务教育数学课程标准（2011版）解读》中对几何直观的理解相类似，并且特别指出直观并不是停留在直观、表面上的初步体验，而是一种通过图形所展开的想象力，是一种透过现象看本质的洞察力.

苑建广认为几何直观是以图形和直观符号为活动要件，以直观化的信息加工过程为形态的一种认知方式，在数学教学活动中起着关键作用.并且认为学生形成和使用几何直观是有水平和层次差异的.为此，他提出了几何直观的三个层次：第一层次，建立和形成敏捷而准确的几何直观——感觉与图形相随；第二层次，实施深入而灵活的几何探索——视角与思维共行；第三层次，成为分析和解决问题的有效工具——抽象与形象互辅.在每一个层次之下都有三个具体的表现特征，为刻画和理解几何直观的内涵提供了更加详细的理论框架[5].

孔凡哲，史宁中认为几何直观是指借助于见得到的（或想象出来的）几何图形的形象关系对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知和整体把握的能力.几何直观是一种特殊的数学直观，具体可以体现为实物直观、简约符号直观、图形直观、代替物直观等四种表现形式.为了更好的理解几何直观的内涵，将几何直观与空间观念、几何推理、几何直觉等核心概念进行比较分析，从本质上理解它们的区别与联系[6].

刘晓玫认为几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学内容紧密相连，很多重要的数学内容和概念都具有双重性，既有“数的特征”，也有“形的特征”，必须从这两个角度认识他们，只有这样才能使这些内容、概念变得形象、直观，变得可以运用它们去思考问题，形成几何直观能力.借助图形描述事物不仅可以把抽象事物直观化，使人们更容易了解其内在的性质和规律，而且还可以找到解决问题的途径和方法[7].

蔡宏圣认为对于几何直观的理解可以从以下几个方面进行：（1）几何直观基于“图形与几何”而又超越“图形与几何”；（2）对图形的理解可以宽泛一些；（3）图形更为重要的是表达关系；（4）要看到图形直观性，更要看到图形的抽象性；（5）几何直观是种意识，也是种技能与能力，更是种思维方式[8].

1.2几何直观的教育价值研究

关于几何直观教育价值问题的探讨，我国学者普遍认为数学教学中重视几何直观的培养有助于学生更好地理解概念本质及探索规律，有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，有助于培养学生的思维能力及创新能力等.

许新征认为几何直观的教育价值主要表现为：（1）借助几何图形，理解数学概念；（2）借助几何图形，分析数学问题；（3）借助几何图形，探索数学规律[9].

黄国洪认为小学阶段培养学生的几何直观能力，首先，从直观教学开始，注重操作，引导学生把图形画出来；其次，重视变换，让图形动起来；再次，借助几何直观培养推理能力；最后，逐步引导学生在解决数学问题的过程中，渗透数形结合的思想，感悟数与形之间的相互转化，使学生的认知多元化，以更好发挥几何直观的教学价值[10].

刘爱东认为几何直观在学生数学学习过程中具有不可替代的作用：一方面，可以帮助学生直观地理解数学，借助图形，使得抽象的概念、算理、法则、公式变得形象简明；另一方面，也能培养学生利用几何直观发现问题、分析问题、简化思路，寻求个性化数学思考的能力.并将几何直观教育价值进一步细化为：依托直观支持，深化概念理解；把握数学本质，优化思维表达；完善数学建构，引领显性建模[11].

刘新敏认为几何直观在学生日常学习和数学理解过程中具有重要的作用，主要表现为以下几个方面：（1）借助几何直观可以帮助学生理解抽象的数学概念；（2）借助几何直观可以帮助学生理解算理；（3）借助几何直观可以帮助学生更好的实现理解和记忆；（4）借助几何直观可以帮助学生分析数量关系；（5）借助几何直观可以帮助学生认识图形的特征[12].

1.3几何直观在教学实际中的应用研究

几何直观在数学教学中的教育价值已得到大家认可，但如何在数学课堂中渗透几何直观却让很多教师犯难.为此，一些教师结合自己的课堂教学内容将几何直观渗透到实际的教学内容之中，为一线课堂教学如何渗透几何直观提供了具有可操作性的理论借鉴.endprint

刘善娜通过小学数学运算概念的教学片断，详细论述运算概念教学中如何渗透几何直观.她认为，几何直观可以借助形与数的对应帮助学生理解形与数的关联，有助于运算概念的引入；可以借助形的表象来帮助学生理解抽象的运算算理，有助于运算方法的理解和掌握；可以借助形的几何推算激发学生对运算规律的探究欲望，有助于运算规律的运用[13].

曹军结合自己日常教学中教学片断，例举了具体的教学片断来呈现教学过程中如何渗透几何直观，并进一步分析几何的教学价值.通过“认识公倍数”的教学片断，借助几何直观性和图形之间的联系，有效的阐明了数与数之间的联系，将抽象的数学概念形象化、简单化，使学生对公倍数的概念有了清晰的认识.通过“分数与分数相乘”教学片断，详细介绍如何借助几何直观理解计算算理.最后，通过“有关面积计算的实际问题”的教学片断，提出通过“独立画图——交流画法”的学习模式，使学生利用几何直观解决实际问题[14].

姚高文通过几何直观在问题表征中的应用举例，认为几何直观在问题表征中的应用主要体现为四个方面：（1）依托实物模型进行问题表征；（2）依托抽象模型进行问题表征；（3）依托简约示意图进行问题表征；（4）依托线段图进行问题表征[15].

许冰彬认为数学教学中几何直观的渗透应该做到以下几点：（1）强化用图意识，建立抽象与现实的联系；（2）善用读图能力，实现表象与语言的转化；（3）关注运动想象，贯彻表征与概念的统一；（4）巧于构造图形，寻求代数与几何的平衡[16].

1.4几何直观能力的培养策略研究

几何直观能力的培养对数学教学以及学生个体的发展都有着重要的价值和意义.在几何直观能力培养策略研究方面，我国学者从不同的视角提出了不同的观点及看法，为培养学生几何直观能力提供了有价值的理论指导和实践参考.

黄伟星、顾晓华认为小学数学教学中培养学生几何直观能力首先要从直观教学入手，引导学生学会用画图的策略分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行合情转化，并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想.感悟数与形、形与数之间的转化.具体表现为：（1）重视直观感知，突出画图策略的培养；（2）重视直观图形与数学符号的合情转化；（3）重视数与形的结合[17].

石丽辉认为培养学生几何直观能力的有效途径主要有：第一，注重模型的作用，让学生参与模型的制作；第二，培养学生的画图能力；第三，多进行文字语言、符号语言和图形语言之间的互译训练[18].

苑建广认为，教师在教学过程中应该准确把握以下几个方面：第一，在内容学习方面，应借助实物或者实物直观引入几何概念，帮助学生深化对几何命题的理解；第二，在知识应用方面，应帮助学生树立应用几何直观的意识，养成借助几何推理的习惯；第三，从教学评价方面看，应改进评价方法，实施多元评价[5].

杨孝斌、任劲松认为学生几何直观能力培养的策略主要有：（1）重视几何直观教学与学生实际生活的联系；（2）重视学生对几何对象的观察与操作；（3）重视几何教学与其他知识教学的联系；（4）重视学生用语言表述对几何问题的直观感受；（5）重视几何直观的合情推理教学；（6）重视现代信息技术在几何直观教学中的应用[19].

2“几何直观”研究现状评述

自新课程实施以来，国内学者对几何直观的四个方面进行了较多的探索和研究，使得几何直观成为了一个新的研究热点.已有的研究在理论和实践层面都取得了一定的研究成果，具有一定的研究价值.但从定量分析和客观角度来看，关于几何直观的研究仍然存在有待改进和提升之处.

2.1对几何直观内涵理解不清

几何直观作为《标准》中提出的十大核心概念之一，其内涵是丰富多样的.由于研究者理解视角和水平的差异，使得在研究过程中对几何直观内涵的理解存在以下不足：大部分学者对几何直观没有给出确切的涵义，只是引用《标准》中给出的描述性解释或是将几何直观分为“几何”与“直观”两个方面进行解释，没有从本质上解释他们之间的内在关联.因此，对几何直观内涵理解不清，就会导致在研究或教学中出现含混不清、模棱两可的现象.

2.2几何直观教育价值认识不到位

几何直观在数学教学以及学生能力培养方面有着重要的价值及意义，但在教学和研究过程中存在对几何直观教育价值认识不到位的现象.现有的研究只是从理论分析视角阐述了几何直观的“应然价值”，没有结合教学实际从教学过程中分析几何直观在数学教学和培养学生能力方面的“实然价值”.为此，只有通过结合实际的教学，从几何直观的本质及教学实际出发，将二者有机结合到一起，才能真正发挥几何直观的教育价值.

2.3几何直观在教学中应用研究不深入

几何直观在数学教学的很多地方都可以体现，将几何直观应用到实际的教学中，通过几何直观的渗透来完成教学任务，这是几何直观研究的重要内容.但通过已有研究发现：几何直观的数学教学中实际应用的研究相对较少，通过具体的实例来体现几何直观在教学中的应用也相对缺乏.另外，在已有的研究中多以几何直观在小学数学教学中应用为主，对初、高中几何直观在数学教学中应用研究匮乏.

2.4缺乏对几何直观能力的实证研究，培养策略实际操作性不强

几何直观能力的培养是教学的主要目的，通过在数学教学中渗透几何直观，培养学生几何直观能力，提高学生数学素养，促进学生全面发展.通过对已有研究成果分析发现：几何直观能力培养策略的研究中缺乏实证性研究，对学生几何直观能力的具体水平划分不清楚.因此，提出的几何直观能力培养策略不切合实际，可操作性不强，缺乏针对性.并且研究的对象主要是以小学生为主，对中学生几何直观能力水平缺乏实证研究.

3“几何直观”研究展望

几何直观对教师的教学以及学生的数学学习都有着重要意义，它可以看做是一项基本的能力.为此，我们应该给予其高度的重视，通过相关研究为教师教学和学生几何直观能力的培养提供有价值的理论指导和实践参考.笔者认为未来几何直观研究应重视以下四个方面：endprint

3.1进一步明晰几何直观内涵

尽管研究者对几何直观的内涵有了一些认识，但是大多数都是基于《标准》基础之上的理解及解释，没有从数学本质对几何直观内涵进行深入的理解.几何直观的内涵是进行几何直观教学、培养几何直观能力的基础，所以深入理解几何直观内涵具有十分重要的意义.未来研究中需结合数学哲学，数学史从几何直观的发展演变过程对几何直观进行理解，并结合相关概念，如“几何直觉”、“空间观念”等.从概念的区别和联系进一步明晰几何直观内涵.

3.2强化对几何直观教育价值的认识

几何直观的教育价值是宽泛的，不仅对学生的数学学习有重要的意义，而且对学生思维能力、创新能力的发展也具有重要的价值.为此，不管是在研究过程还是教学过程中都应高度重视几何直观在教学以及学生能力培养方面的重要作用.通过实际的教学过程将几何直观的“应然价值”转化为适合学生发展的“实然价值”.

3.3深化几何直观在教学中的应用研究

很多的教学内容、概念、定理等都具有“数”与“形”两个方面的本质特征，这些内容的教学过程中几何直观具有重要的作用.为此，几何直观在教学中的应用就成为了研究的重点.未来几何直观在教学中应用研究应该做到以下几点：（1）多以具体的教学内容为载体，通过巧妙的设计，在教学过程中充分体现几何直观；（2）加强几何直观在中学教学内容中的应用研究.

3.4大力开展实证性量化研究，提出具有实践性、可操作性的培养策略

几何直观能力是学生能力发展的重要组成部分之一，是学生要求具备的基本能力之一.了解和掌握学生几何直观能力水平，对学生几何直观能力培养策略的提出有着重要意义.因此，未来研究中需要大力开展几何直观能力的实证性量化研究，通过具体的实证研究结合学生的发展特点，有针对性的提出具有实践性、可操作性的培养策略.进而在日常教学中帮助学生不断提高自己的几何直观能力，促进学生能力全面发展.

4结束语

几何直观是影响中小学生数学发展的重要因素之一，培养和发展学生的几何直观，是数学课程“图形与几何”领域的核心目标之一[6].几何直观的研究对数学教学以及学生能力的发展都有着重要的意义.为此，研究过程应选择适切的问题，采用科学的方法，找准切入口，以综合系统的观点分析现象，并通过实证性的比较分析，提出具有实践性、可操作性的几何直观能力培养策略.

参考文献

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