由一道中考试题引出的几个优美性质及其应用

张树芳+张宁

1试题及解答

如图1，反比例函数y=kx（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）.

2由试题引出的几个优美性质

性质1如图2，反比例函数y=kx（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，连接OD、OE、DE.则

3应用例举

利用以上性质，可简解同类中考试题或竞赛试题.

例1（2013年四川省绵阳市）如图5，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y=kx（k>0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F.

（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值.

图5解析（1）略.

（2）证明：因为△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，所以∠EDF=∠EBF=90°.因为点D在直线OC上，所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因为∠GDE+∠GED=90°，所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF；设点E的坐标为（a，2），点F的坐标为（4，b）.由性质2知，AEAB=CFCB=a4=b2，所以k=2a=4b.所以点E的坐标为（2b，2）.所以AE=2b，DE=BE=4-2b，CF=b，DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知，DCDF=EGED，所以21-b2-b=24-2b，解得，b=34.所以点F的坐标为（4，34），所以k=4×34=3.

点评本题主要考查反比例函数的性质、对称变换的性质及相似三角形的判定和性质.作为一道中考试题，学生解题时可根据“点E是AB的中点”求出点E的坐标，然后利用反比例函数的性质得出点F的坐标.对于问题（2），可利用反比例函数的性质得出k=2a=4b，然后借助于相似三角形的性质求出a或b的值.从而确定出点E或点F的坐标，最后根据点E或点F的坐标确定k的值.这里利用性质2和性质3来求解，只想借此说明这几条性质有一定的用处，这两条性质虽然不要求学生能够理解并运用它解决问题，但作为一线教师，应当知道并理解这几条性质的实质.

图6例2（2013年河南省）如图6，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）.双曲线y=kx（k>0）的图像经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式.

解析（1）因为双曲线y=kx（k>0）的图像经过BC的中点D，由性质3知，点E是AB的中点.

因为点B的坐标为（2，3），所以点E的坐标为（2，32）.因为双曲线y=kx（k>0）的图像经过点E，所以k=2×32=3.

（2）由（1）知，BD=1，BE=32，BC=2.

作者简介张树芳，女，1986年生，宁夏海原人，中学二级教师，主要从事初等数学研究，自参加工作以来一直从事毕业班数学教学工作，有多名学生在全国初中数学竞赛中取得优异的成绩。张宁，男，1979年生，宁夏彭阳人，中学一级教师，主要从事中考数学、竞赛数学和几何不等式研究。endprint

1试题及解答

如图1，反比例函数y=kx（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）.

2由试题引出的几个优美性质

性质1如图2，反比例函数y=kx（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，连接OD、OE、DE.则

3应用例举

利用以上性质，可简解同类中考试题或竞赛试题.

例1（2013年四川省绵阳市）如图5，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y=kx（k>0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F.

（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值.

图5解析（1）略.

（2）证明：因为△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，所以∠EDF=∠EBF=90°.因为点D在直线OC上，所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因为∠GDE+∠GED=90°，所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF；设点E的坐标为（a，2），点F的坐标为（4，b）.由性质2知，AEAB=CFCB=a4=b2，所以k=2a=4b.所以点E的坐标为（2b，2）.所以AE=2b，DE=BE=4-2b，CF=b，DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知，DCDF=EGED，所以21-b2-b=24-2b，解得，b=34.所以点F的坐标为（4，34），所以k=4×34=3.

点评本题主要考查反比例函数的性质、对称变换的性质及相似三角形的判定和性质.作为一道中考试题，学生解题时可根据“点E是AB的中点”求出点E的坐标，然后利用反比例函数的性质得出点F的坐标.对于问题（2），可利用反比例函数的性质得出k=2a=4b，然后借助于相似三角形的性质求出a或b的值.从而确定出点E或点F的坐标，最后根据点E或点F的坐标确定k的值.这里利用性质2和性质3来求解，只想借此说明这几条性质有一定的用处，这两条性质虽然不要求学生能够理解并运用它解决问题，但作为一线教师，应当知道并理解这几条性质的实质.

图6例2（2013年河南省）如图6，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）.双曲线y=kx（k>0）的图像经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式.

解析（1）因为双曲线y=kx（k>0）的图像经过BC的中点D，由性质3知，点E是AB的中点.

因为点B的坐标为（2，3），所以点E的坐标为（2，32）.因为双曲线y=kx（k>0）的图像经过点E，所以k=2×32=3.

（2）由（1）知，BD=1，BE=32，BC=2.

作者简介张树芳，女，1986年生，宁夏海原人，中学二级教师，主要从事初等数学研究，自参加工作以来一直从事毕业班数学教学工作，有多名学生在全国初中数学竞赛中取得优异的成绩。张宁，男，1979年生，宁夏彭阳人，中学一级教师，主要从事中考数学、竞赛数学和几何不等式研究。endprint

1试题及解答

如图1，反比例函数y=kx（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）.

2由试题引出的几个优美性质

性质1如图2，反比例函数y=kx（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，连接OD、OE、DE.则

3应用例举

利用以上性质，可简解同类中考试题或竞赛试题.

例1（2013年四川省绵阳市）如图5，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y=kx（k>0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F.

（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值.

图5解析（1）略.

（2）证明：因为△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，所以∠EDF=∠EBF=90°.因为点D在直线OC上，所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因为∠GDE+∠GED=90°，所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF；设点E的坐标为（a，2），点F的坐标为（4，b）.由性质2知，AEAB=CFCB=a4=b2，所以k=2a=4b.所以点E的坐标为（2b，2）.所以AE=2b，DE=BE=4-2b，CF=b，DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知，DCDF=EGED，所以21-b2-b=24-2b，解得，b=34.所以点F的坐标为（4，34），所以k=4×34=3.

点评本题主要考查反比例函数的性质、对称变换的性质及相似三角形的判定和性质.作为一道中考试题，学生解题时可根据“点E是AB的中点”求出点E的坐标，然后利用反比例函数的性质得出点F的坐标.对于问题（2），可利用反比例函数的性质得出k=2a=4b，然后借助于相似三角形的性质求出a或b的值.从而确定出点E或点F的坐标，最后根据点E或点F的坐标确定k的值.这里利用性质2和性质3来求解，只想借此说明这几条性质有一定的用处，这两条性质虽然不要求学生能够理解并运用它解决问题，但作为一线教师，应当知道并理解这几条性质的实质.

图6例2（2013年河南省）如图6，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）.双曲线y=kx（k>0）的图像经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式.

解析（1）因为双曲线y=kx（k>0）的图像经过BC的中点D，由性质3知，点E是AB的中点.

因为点B的坐标为（2，3），所以点E的坐标为（2，32）.因为双曲线y=kx（k>0）的图像经过点E，所以k=2×32=3.

（2）由（1）知，BD=1，BE=32，BC=2.

作者简介张树芳，女，1986年生，宁夏海原人，中学二级教师，主要从事初等数学研究，自参加工作以来一直从事毕业班数学教学工作，有多名学生在全国初中数学竞赛中取得优异的成绩。张宁，男，1979年生，宁夏彭阳人，中学一级教师，主要从事中考数学、竞赛数学和几何不等式研究。endprint