新课程改革下校本数学问题开发的实践和认识

陆晓峰+汪洋涛

摘 要 问题是数学的心脏，问题是数学教学的中心。新课程标准要求学生学习过程应是主动的、开放的、富有探索性的。正因为此，根据新教材内容开发数学问题就成为了一种需要。本文就解决这一问题列举了一部分案例，阐述了一些符合教学实际的校本数学问题开发的途径和方法。

关键词 问题开发 生成 整合 孕育

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）17-0104-03

随着根据课程标准编写的实验教材在各地的逐步使用，一线教师普遍感到与新教材配套的数学问题太少，远远满足不了教学的需要。为了解决这一问题，我们尝试开发和编制符合本校教学实际的校本数学问题。近两年来，我们摸索了一些途径，开发和编拟了一批新的数学问题充实教学，在教学中发挥了较好的效果和作用。

一、创设情景，在积极探索中生成新的资源

新课程标准要求学生数学学习内容应是现实的、有意义的、富有挑战性的，学习过程应是主动的、开放的、富有探索性的。我们对一些能帮助学生巩固基础知识、训练基本技能和基本方法的传统问题，结合新的理念，创设新的问题情景，努力构建学生参与的舞台，让学生从情景中感受问题并加以解决深化。

案例1：已知sin€%Z·cos€%[=，求sin€%Z·cos€%[的取值范围。

（方案一）：现某同学在计算sin€%Z·cos€%[的取值范围时解答过程如下：

∵sin€%Z·cos€%[与cos€%Z·sin€%[恰好是两角和与差的正弦公式的一部分，令m=sin€%Z·cos€%[，则由+m=sin（€%Z+€%[）∈[-1，1]，得m∈[-，] -m=sin（€%Z+€%[）∈[-1，1]，得m∈[-，]，两者综合得m∈[-，]你认为上述解法正确吗？合理吗？能给出你的评判意见吗？

这样改造，一改往日的老师讲授，学生接受的填鸭式情景，赋予问题新的活力，使得问题的趣味性、开放性、挑战性和参与性都大大增强。很快，在大家的积极参与下，问题的不同解决方案和评判结果不断涌现：

方案二：由二倍角公式有

m=2sin€%Zcos€%[·cos€%Zsin€%[=sin2€%Zsin2€%[∈[-，]

方案三：利用平方关系化归为与已知条件类似的结构，则|m|==，∵sin2€%Z+cos2€%[≥2|sin€%Zcos€%[|=1，∴m∈[-，]

评判1：对于方案1，易犯以偏概全的错误，只有同时考虑sin（€%Z+€%[）、sin（€%Z-€%[）的两个范围，才不会顾此失彼。况且，除上述两个约束条件外，是否还会受到其他的条件的制约？

评判2：方案2简捷明快，令人叹服。但是条件若改为sin€%Z·cos€%[=，仿原方法有m∈[-，]另一方面，根据三角函数的有界性至多可以有m≤1，因此，上述范围太大了。

评判3：对于方案3，他体现了化归的思想，且容易将命题推广为：若sin€%Z·cos€%[=a（|a|≤1），则|m|≤1-|a|，显然，当a=时，|m|≤，当a=时，|m|≤。可见，方案2得到的结果虽然正确，但实质没有注意命题转换的等价性，像是瞎猫逮着死老鼠——凑巧了！

为传统问题创设新的情景，为学生探究学习铺路架桥，既可以为学生提供探索的广阔空间，又可以为学生提供再发现、再创造的机会，并在这样的探索活动中培养及提高他们的创新能力。

二、转变观念，在新老交替中整合新的资源

《课程改革纲要（试行）》中明确提出：“大力推行信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具”。新教材与老教材相比，在体系编排上的变化大，新教材注重信息技术等现代教学技术在解决问题，认识问题和发现问题中的作用。如何实现这种理念，巩固新课程的这种变革成果，最关键的是要开发更多的问题资源。将老教材的许多经典问题进行新理念下、新体系下的整合，是我们获得问题资源的又一个有效途径。

案例2：网络教室中一人一机环境下对直线与双曲线交点个数问题的研究。

（1）创设问题情景

① 已知双曲线x2-y2=4，直线l过点P（0，2），问直线l何时与双曲线只有一个公共点？（经典老问题）

② 在计算机上观察所求出的四条直线的位置特征。

③ 问题：若点P在平面内的其他位置时，过该点且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？

（2）实验探究

借助几何画板在计算机上进行自主探究或协作探究。在本例中，直线 过定点P（0，2），学生在计算机绕P（0，2）旋转直线，发现当直线l与双曲线相切或与双曲线的渐近线平行时，直线 与双曲线只有一个交点。这个规律是否有普遍性？教师再提问：若点P在平面的其他位置，过该点并且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？学生再实验探究点P在各种不同位置时只有一个公共点的直线条数。

（3）提出猜想：在本例中，学生通过实验探究，大胆提出猜想：只要直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线就只有一个交点。

（4）验证猜想：引导学生通过演绎推理来验证猜想的正确性，或通过反例来否定。

（5）问题的拓展

①给定双曲线和定点，过定点与双曲线有二个交点的直线有几条？过定点与双曲线有三个交点的直线有几条？

②对于上面讨论的问题，其他圆锥曲线又如何？

问题不是新的，但过程和方法却不是旧的，在观念的变革下，原有的课程内容也能在相当大的程度上支持学生的研究性学习和实验探索。由此可见，将老教材的许多经典问题进行新理念下的整合，为我们开启了另一个资源丰富的问题矿。endprint

三、关注课堂，在思维碰撞中生成新的问题资源

新理念下的课堂教学仍是我们教学的主阵地，数学课堂教学中学生的思维活动往往不一定能按照教师预先设定的目标进行，有时会提出意想不到的问题，这些偶发事件出现时所生成的资源有时正是探究的好时机及好题材。

案例3：学完平均值定理后，出了这样一个练习给学生。

已知x，y∈R+，且2x+3y=4，求+的最小值。

学生尝试后很快就得到正确的解法：

+=（2x+3y）（+）=（5++）≥（5+2），

当且仅当即时取等号。所以+的最小值为（5+2）突然有一个学生提出：若问题的条件不变，不求+的最小值，而是求+的最小值，怎样求呢？

面对这偶然出现的问题，事前老师对此毫无思想准备，该怎么办？敷衍过去吧，则打击学生学习的积极性，降低学习热情，更严重的是失去了一次难得的探究性活动的好时机和好题材。最后老师还是鼓励学生来探究，但为了便于问题的解决，可将条件变得简单一些，比如改成x+y=2。过了几分钟就有两位同学研究出来。

∵x>0，y>0且x+y=2

∴+=（x+y）2（+）=（++++2）

=[2+（++）+（++）]≥（2+3+3）=2当且仅当x=y=1时取等号，则+的最小值是2。

学生对问题的认识有一个不断深化的过程，但他们的创造力是巨大的，他们竟然找到了平均分拆法，说明了他们已经掌握了运用平均值定理的精髓。同时也说明了他们初步学会了拟造数学题的基本方法，比如改变原题的条件或结论，将原题的条件，结论一般化或特殊化等都可以变出新的问题。例如

变题1 已知x>0，y>0，且+=1求x+y的最小值。

变题2 已知a，b，c，p，q都是正常数，x，y是正变量，且ax+by=c，求+的最小值。

偶发事件的出现使生成性的资源带有偶然性，教师应该抓住机会，善于引导，趁热打铁，以此作为“材料”给学生提供广阔的思维空间，让学生多角度探索问题，加深对教材内容的理解。

四、留心生活，在感受与思考中孕育新的问题资源

理论源于实践，问题始于观察。善于从生活中获取知识，也善于将学到的知识应用于生活，培养学生用数学视角观察世界和数学思维思考世界的习惯，也是我们获取丰富问题资源的又一有效途径。

案例4：（1）在生活中有这样一种现象：手电筒、汽车灯发出的光线经抛物反射面反射后，反射光线成平行直线射出，为什么呢？能结合我们所学的基本知识解释这种现象的原因吗？

（2）随着改革开放的推进，人们经济生活中的一些消费观念、消费方式也在悄然发生变化，借银行的钱适度超前消费已渐渐成为人们生活的新时尚。据报道：某市消费者去年一年从各家银行借走了28亿元，创下本市消费信贷新增额、余额的历史新高。而住房贷款依然是本市银行消费信贷的主打品种。去年这个品种新增发放额达18.12亿元，占全部消费信贷发放额的65﹪左右。由此可见，分期付款在当今经济生活中的应用已日益广泛。在分期付款的有关计算中，人们往往关注两个问题，其一：每期应付额是多少？因为这涉及到偿还能力；其二：分期付款方式比一次性付款方式多支付了多少钱？因为这将直接影响人们选择付款方式的决策。老王欲购买新房一套，现向银行贷款10万元，分5年还清，已知中国工商银行5年期住房的月利率为4.425‰，且分期付款中每期所付款额是相同的，每月利息按复利计算，能否帮老王计算一下分期付款方式比一次性付款方式多付了多少钱吗？

（3）一游戏规则：一个布袋内装有6个红球与6个白球，除颜色不同外，6个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红 赢得100元； 5红一白 赢得50元；4红2白 赢得20元；3红3白 输100元；2红4白 赢得20元；1红5白 赢得50元；6个全白 赢得100元；如果你摸出了3红3白则输100元，而对于其他六种情况，你均能赢得相应的钱数，而不用花其他的钱，怎么样？动心了吗？

（4）2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税法的决定，工薪所得减除费用从800元提高到1600元，也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过1600元才需纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：

小张的爸爸2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只需交纳多少元？

数学源于生活，那么体验生活，感受社会应是数学学习的一个要求。我们要把数学内容看成是“学生素质”的载体，将教学的触角延伸到社会，科技及生活的每个方面，并从中及时吸收一些既符合学生认知要求又契和素质教育的内容，赋予教与学以新的活力。同时要善于从生活中提出问题，并对有关内容进行充分的开发和重新挖掘，以激发学生学习数学的兴趣，强化数学应用意识，逐步培养学生的数学应用能力。

问题是数学的心脏，问题是数学教学的中心。数学教学都是在不断提出问题，解决问题的过程中展开的。校本数学问题的开发，有效的填补了新时期课改中问题资源的不足，巩固了课改的新成果，也是开发和培养学生学习潜能的有效形式。

（责任编辑 全 玲）endprint

三、关注课堂，在思维碰撞中生成新的问题资源

新理念下的课堂教学仍是我们教学的主阵地，数学课堂教学中学生的思维活动往往不一定能按照教师预先设定的目标进行，有时会提出意想不到的问题，这些偶发事件出现时所生成的资源有时正是探究的好时机及好题材。

案例3：学完平均值定理后，出了这样一个练习给学生。

已知x，y∈R+，且2x+3y=4，求+的最小值。

学生尝试后很快就得到正确的解法：

+=（2x+3y）（+）=（5++）≥（5+2），

当且仅当即时取等号。所以+的最小值为（5+2）突然有一个学生提出：若问题的条件不变，不求+的最小值，而是求+的最小值，怎样求呢？

面对这偶然出现的问题，事前老师对此毫无思想准备，该怎么办？敷衍过去吧，则打击学生学习的积极性，降低学习热情，更严重的是失去了一次难得的探究性活动的好时机和好题材。最后老师还是鼓励学生来探究，但为了便于问题的解决，可将条件变得简单一些，比如改成x+y=2。过了几分钟就有两位同学研究出来。

∵x>0，y>0且x+y=2

∴+=（x+y）2（+）=（++++2）

=[2+（++）+（++）]≥（2+3+3）=2当且仅当x=y=1时取等号，则+的最小值是2。

学生对问题的认识有一个不断深化的过程，但他们的创造力是巨大的，他们竟然找到了平均分拆法，说明了他们已经掌握了运用平均值定理的精髓。同时也说明了他们初步学会了拟造数学题的基本方法，比如改变原题的条件或结论，将原题的条件，结论一般化或特殊化等都可以变出新的问题。例如

变题1 已知x>0，y>0，且+=1求x+y的最小值。

变题2 已知a，b，c，p，q都是正常数，x，y是正变量，且ax+by=c，求+的最小值。

偶发事件的出现使生成性的资源带有偶然性，教师应该抓住机会，善于引导，趁热打铁，以此作为“材料”给学生提供广阔的思维空间，让学生多角度探索问题，加深对教材内容的理解。

四、留心生活，在感受与思考中孕育新的问题资源

理论源于实践，问题始于观察。善于从生活中获取知识，也善于将学到的知识应用于生活，培养学生用数学视角观察世界和数学思维思考世界的习惯，也是我们获取丰富问题资源的又一有效途径。

案例4：（1）在生活中有这样一种现象：手电筒、汽车灯发出的光线经抛物反射面反射后，反射光线成平行直线射出，为什么呢？能结合我们所学的基本知识解释这种现象的原因吗？

（2）随着改革开放的推进，人们经济生活中的一些消费观念、消费方式也在悄然发生变化，借银行的钱适度超前消费已渐渐成为人们生活的新时尚。据报道：某市消费者去年一年从各家银行借走了28亿元，创下本市消费信贷新增额、余额的历史新高。而住房贷款依然是本市银行消费信贷的主打品种。去年这个品种新增发放额达18.12亿元，占全部消费信贷发放额的65﹪左右。由此可见，分期付款在当今经济生活中的应用已日益广泛。在分期付款的有关计算中，人们往往关注两个问题，其一：每期应付额是多少？因为这涉及到偿还能力；其二：分期付款方式比一次性付款方式多支付了多少钱？因为这将直接影响人们选择付款方式的决策。老王欲购买新房一套，现向银行贷款10万元，分5年还清，已知中国工商银行5年期住房的月利率为4.425‰，且分期付款中每期所付款额是相同的，每月利息按复利计算，能否帮老王计算一下分期付款方式比一次性付款方式多付了多少钱吗？

（3）一游戏规则：一个布袋内装有6个红球与6个白球，除颜色不同外，6个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红 赢得100元； 5红一白 赢得50元；4红2白 赢得20元；3红3白 输100元；2红4白 赢得20元；1红5白 赢得50元；6个全白 赢得100元；如果你摸出了3红3白则输100元，而对于其他六种情况，你均能赢得相应的钱数，而不用花其他的钱，怎么样？动心了吗？

（4）2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税法的决定，工薪所得减除费用从800元提高到1600元，也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过1600元才需纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：

小张的爸爸2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只需交纳多少元？

数学源于生活，那么体验生活，感受社会应是数学学习的一个要求。我们要把数学内容看成是“学生素质”的载体，将教学的触角延伸到社会，科技及生活的每个方面，并从中及时吸收一些既符合学生认知要求又契和素质教育的内容，赋予教与学以新的活力。同时要善于从生活中提出问题，并对有关内容进行充分的开发和重新挖掘，以激发学生学习数学的兴趣，强化数学应用意识，逐步培养学生的数学应用能力。

问题是数学的心脏，问题是数学教学的中心。数学教学都是在不断提出问题，解决问题的过程中展开的。校本数学问题的开发，有效的填补了新时期课改中问题资源的不足，巩固了课改的新成果，也是开发和培养学生学习潜能的有效形式。

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三、关注课堂，在思维碰撞中生成新的问题资源

新理念下的课堂教学仍是我们教学的主阵地，数学课堂教学中学生的思维活动往往不一定能按照教师预先设定的目标进行，有时会提出意想不到的问题，这些偶发事件出现时所生成的资源有时正是探究的好时机及好题材。

案例3：学完平均值定理后，出了这样一个练习给学生。

已知x，y∈R+，且2x+3y=4，求+的最小值。

学生尝试后很快就得到正确的解法：

+=（2x+3y）（+）=（5++）≥（5+2），

当且仅当即时取等号。所以+的最小值为（5+2）突然有一个学生提出：若问题的条件不变，不求+的最小值，而是求+的最小值，怎样求呢？

面对这偶然出现的问题，事前老师对此毫无思想准备，该怎么办？敷衍过去吧，则打击学生学习的积极性，降低学习热情，更严重的是失去了一次难得的探究性活动的好时机和好题材。最后老师还是鼓励学生来探究，但为了便于问题的解决，可将条件变得简单一些，比如改成x+y=2。过了几分钟就有两位同学研究出来。

∵x>0，y>0且x+y=2

∴+=（x+y）2（+）=（++++2）

=[2+（++）+（++）]≥（2+3+3）=2当且仅当x=y=1时取等号，则+的最小值是2。

学生对问题的认识有一个不断深化的过程，但他们的创造力是巨大的，他们竟然找到了平均分拆法，说明了他们已经掌握了运用平均值定理的精髓。同时也说明了他们初步学会了拟造数学题的基本方法，比如改变原题的条件或结论，将原题的条件，结论一般化或特殊化等都可以变出新的问题。例如

变题1 已知x>0，y>0，且+=1求x+y的最小值。

变题2 已知a，b，c，p，q都是正常数，x，y是正变量，且ax+by=c，求+的最小值。

偶发事件的出现使生成性的资源带有偶然性，教师应该抓住机会，善于引导，趁热打铁，以此作为“材料”给学生提供广阔的思维空间，让学生多角度探索问题，加深对教材内容的理解。

四、留心生活，在感受与思考中孕育新的问题资源

理论源于实践，问题始于观察。善于从生活中获取知识，也善于将学到的知识应用于生活，培养学生用数学视角观察世界和数学思维思考世界的习惯，也是我们获取丰富问题资源的又一有效途径。

案例4：（1）在生活中有这样一种现象：手电筒、汽车灯发出的光线经抛物反射面反射后，反射光线成平行直线射出，为什么呢？能结合我们所学的基本知识解释这种现象的原因吗？

（2）随着改革开放的推进，人们经济生活中的一些消费观念、消费方式也在悄然发生变化，借银行的钱适度超前消费已渐渐成为人们生活的新时尚。据报道：某市消费者去年一年从各家银行借走了28亿元，创下本市消费信贷新增额、余额的历史新高。而住房贷款依然是本市银行消费信贷的主打品种。去年这个品种新增发放额达18.12亿元，占全部消费信贷发放额的65﹪左右。由此可见，分期付款在当今经济生活中的应用已日益广泛。在分期付款的有关计算中，人们往往关注两个问题，其一：每期应付额是多少？因为这涉及到偿还能力；其二：分期付款方式比一次性付款方式多支付了多少钱？因为这将直接影响人们选择付款方式的决策。老王欲购买新房一套，现向银行贷款10万元，分5年还清，已知中国工商银行5年期住房的月利率为4.425‰，且分期付款中每期所付款额是相同的，每月利息按复利计算，能否帮老王计算一下分期付款方式比一次性付款方式多付了多少钱吗？

（3）一游戏规则：一个布袋内装有6个红球与6个白球，除颜色不同外，6个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红 赢得100元； 5红一白 赢得50元；4红2白 赢得20元；3红3白 输100元；2红4白 赢得20元；1红5白 赢得50元；6个全白 赢得100元；如果你摸出了3红3白则输100元，而对于其他六种情况，你均能赢得相应的钱数，而不用花其他的钱，怎么样？动心了吗？

（4）2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税法的决定，工薪所得减除费用从800元提高到1600元，也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过1600元才需纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：

小张的爸爸2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只需交纳多少元？

数学源于生活，那么体验生活，感受社会应是数学学习的一个要求。我们要把数学内容看成是“学生素质”的载体，将教学的触角延伸到社会，科技及生活的每个方面，并从中及时吸收一些既符合学生认知要求又契和素质教育的内容，赋予教与学以新的活力。同时要善于从生活中提出问题，并对有关内容进行充分的开发和重新挖掘，以激发学生学习数学的兴趣，强化数学应用意识，逐步培养学生的数学应用能力。

问题是数学的心脏，问题是数学教学的中心。数学教学都是在不断提出问题，解决问题的过程中展开的。校本数学问题的开发，有效的填补了新时期课改中问题资源的不足，巩固了课改的新成果，也是开发和培养学生学习潜能的有效形式。

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