谈系统牛顿第二定律的应用

白卓

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）17-0084-02

以牛顿第二定律为核心的牛顿运动定律是高中物理的主干知识，是高考的必考和重点考察内容，既有对牛顿第二定律单独命题。也有与其他知识的综合命题，且以各种题型出现。

中学生在用牛顿第二定律解题时，大多是把研究对象看成质点，运用 进行处理。而牛顿第二定律不仅对单个质点适用，对质点组或几个质点的组成的系统也适用，并且有时对系统运用牛顿第二定律要比逐个对单个质点运用牛顿第二定律解题要简便许多，可以省去一些中间环节，大大提高解题速度和减少错误的发生。所以有必要对单个质点和系统的牛顿第二定律进行相关的梳理。

现行高中教科版物理教材对牛顿第二定律的表述：“物体的加速度跟所受的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力方向相同。”牛顿第二定律表达式：F合=ma。定律中所述物体是单个物体或有相同加速度的一个系统。

若把牛顿第二定律推广到具有不同加速度系统则可表述为：系统受到的合力（系统以外的物体对系统内的物体的作用力的合力）等于系统内各物体的质量与其加速度乘积的矢量和。表达式为：F合=m1a1+m2a2+ ……+mnan。式中m1、m2、m3……分别为系统内各物体的质量，a1、a2、a3……为各物体的加速度，F合为这个系统受到的合力。相应的正交分解的表达式为：F合x =m1a1x+m2a2x+……+mnanx，F合y =m1a1y+m2a2y+……+mnany。式中a1x、a2x、a3x……为各物体在x轴上的分加速度，a1y、a2y、a3y……为各物体在y轴上的分加速度，F合x为系统在x轴上受到的合力，F合y为系统在y轴上受到的合力。

下面通过几个实例加以说明：

1.如图所示，一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱和杆的质量为M，环的质量为m，已知环沿着杆加速下滑，加速度为a，则此箱对地面的压力为多少？ 分析与求解：本题既可以用隔离法也可以用系统牛顿第二定律处理

解法一：对m：mg-Ff=ma，对M： Mg+Ff=FN，FN=Mg+mg-ma。

解法二：建立竖直方向直线坐标系，以向下为正方向。对系统受力分析知，系统受竖直向下的重力（M+m）g，竖直向上的支持力FN，由系统的牛顿第二定律得：（M+m）g-FN=ma FN=Mg+mg-ma

2.倾如图所示，倾角€%a=37€埃柿縈=5kg的粗糙斜面位于水平地面上。质量m=2kg的木块置于斜顶端，从静止开始匀加速下滑，经t=2s到达底端，运动路程L=4m，在此过程中斜面保持静止（sin37€？0.6，cos37€？0.8，g取10m/s2）。求：

（1）地面对摩擦力大小与方向；

（2）地面对支持力大小；

分析与求解：本题同样既可以用隔离法单独对木块和斜面进行相应的分析也可以用系统牛顿第二定律处理。

解法一：如图所示，分别对木块和斜面受力分析

L=at2 a==2m/s2

对木块：mgsin€%a-f1=ma

对斜面：f2=N1sin€%a-f1cos€%a=3.2N，方向水平向左

地面对斜面的支持力N2=Mg+N1cos€%a+f1sin€%a=67.6N

解法二：对系统受力进行分析，系统受竖直向下的重力（M+m）g， 竖直向上的支持力N2，水平向左的摩擦力f2。建立水平和竖直方向的直角坐标系，ax=acos€%a ay=asin€%a

由系统的牛顿第二定律得：

f2=max （M+m）g-N=may

f2=macos€%a=3.2N，方向水平向左

N2=（M+m）g-masin€%a=67.6N

3.（2013安徽第4问）如图所示，质量为M、倾角为€%Z的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为€%e，斜面顶端与劲度系数为K、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为3L/4时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。

（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；

（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；

（3）求弹簧的最大伸长量；

（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数€%e应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？

分析与求解：本文仅就第（4）问用系统牛顿第二定律处理加以说明，至于隔离法分析物块和斜面求解的方法请参考高考参考答案。结合前面几问分析知，在物块具有最大向上加速度时保持不动，则整个过程保持不动。即：am=gsin€%Z+KL/4m建立水平和竖直方向的直角坐标系得：amx=acos€%Z amy=asin€%Z

物块运动时，要斜面静止则需要€%e（Mg+mg-mamy）≥mamx

联立求解得：€%e≥

终上所述，若一个系统内各物体的加速度不相同，又不需求系统内物体间的相互作用力时，利用上式求解系统所受的外力，因减少了求未知的内力，这就大大简化了数学运算，使问题的处理较简捷。用这种方法处理问题要抓住两点：（1）分析系统受到的外力；（2）建立直角坐标系将系统内各物体的加速度正交分解，用系统牛顿第二定律正交分解表达式求解。

（责任编辑 易 凡）endprint

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）17-0084-02

以牛顿第二定律为核心的牛顿运动定律是高中物理的主干知识，是高考的必考和重点考察内容，既有对牛顿第二定律单独命题。也有与其他知识的综合命题，且以各种题型出现。

中学生在用牛顿第二定律解题时，大多是把研究对象看成质点，运用 进行处理。而牛顿第二定律不仅对单个质点适用，对质点组或几个质点的组成的系统也适用，并且有时对系统运用牛顿第二定律要比逐个对单个质点运用牛顿第二定律解题要简便许多，可以省去一些中间环节，大大提高解题速度和减少错误的发生。所以有必要对单个质点和系统的牛顿第二定律进行相关的梳理。

现行高中教科版物理教材对牛顿第二定律的表述：“物体的加速度跟所受的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力方向相同。”牛顿第二定律表达式：F合=ma。定律中所述物体是单个物体或有相同加速度的一个系统。

若把牛顿第二定律推广到具有不同加速度系统则可表述为：系统受到的合力（系统以外的物体对系统内的物体的作用力的合力）等于系统内各物体的质量与其加速度乘积的矢量和。表达式为：F合=m1a1+m2a2+ ……+mnan。式中m1、m2、m3……分别为系统内各物体的质量，a1、a2、a3……为各物体的加速度，F合为这个系统受到的合力。相应的正交分解的表达式为：F合x =m1a1x+m2a2x+……+mnanx，F合y =m1a1y+m2a2y+……+mnany。式中a1x、a2x、a3x……为各物体在x轴上的分加速度，a1y、a2y、a3y……为各物体在y轴上的分加速度，F合x为系统在x轴上受到的合力，F合y为系统在y轴上受到的合力。

下面通过几个实例加以说明：

1.如图所示，一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱和杆的质量为M，环的质量为m，已知环沿着杆加速下滑，加速度为a，则此箱对地面的压力为多少？ 分析与求解：本题既可以用隔离法也可以用系统牛顿第二定律处理

解法一：对m：mg-Ff=ma，对M： Mg+Ff=FN，FN=Mg+mg-ma。

解法二：建立竖直方向直线坐标系，以向下为正方向。对系统受力分析知，系统受竖直向下的重力（M+m）g，竖直向上的支持力FN，由系统的牛顿第二定律得：（M+m）g-FN=ma FN=Mg+mg-ma

2.倾如图所示，倾角€%a=37€埃柿縈=5kg的粗糙斜面位于水平地面上。质量m=2kg的木块置于斜顶端，从静止开始匀加速下滑，经t=2s到达底端，运动路程L=4m，在此过程中斜面保持静止（sin37€？0.6，cos37€？0.8，g取10m/s2）。求：

（1）地面对摩擦力大小与方向；

（2）地面对支持力大小；

分析与求解：本题同样既可以用隔离法单独对木块和斜面进行相应的分析也可以用系统牛顿第二定律处理。

解法一：如图所示，分别对木块和斜面受力分析

L=at2 a==2m/s2

对木块：mgsin€%a-f1=ma

对斜面：f2=N1sin€%a-f1cos€%a=3.2N，方向水平向左

地面对斜面的支持力N2=Mg+N1cos€%a+f1sin€%a=67.6N

解法二：对系统受力进行分析，系统受竖直向下的重力（M+m）g， 竖直向上的支持力N2，水平向左的摩擦力f2。建立水平和竖直方向的直角坐标系，ax=acos€%a ay=asin€%a

由系统的牛顿第二定律得：

f2=max （M+m）g-N=may

f2=macos€%a=3.2N，方向水平向左

N2=（M+m）g-masin€%a=67.6N

3.（2013安徽第4问）如图所示，质量为M、倾角为€%Z的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为€%e，斜面顶端与劲度系数为K、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为3L/4时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。

（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；

（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；

（3）求弹簧的最大伸长量；

（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数€%e应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？

分析与求解：本文仅就第（4）问用系统牛顿第二定律处理加以说明，至于隔离法分析物块和斜面求解的方法请参考高考参考答案。结合前面几问分析知，在物块具有最大向上加速度时保持不动，则整个过程保持不动。即：am=gsin€%Z+KL/4m建立水平和竖直方向的直角坐标系得：amx=acos€%Z amy=asin€%Z

物块运动时，要斜面静止则需要€%e（Mg+mg-mamy）≥mamx

联立求解得：€%e≥

终上所述，若一个系统内各物体的加速度不相同，又不需求系统内物体间的相互作用力时，利用上式求解系统所受的外力，因减少了求未知的内力，这就大大简化了数学运算，使问题的处理较简捷。用这种方法处理问题要抓住两点：（1）分析系统受到的外力；（2）建立直角坐标系将系统内各物体的加速度正交分解，用系统牛顿第二定律正交分解表达式求解。

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中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）17-0084-02

以牛顿第二定律为核心的牛顿运动定律是高中物理的主干知识，是高考的必考和重点考察内容，既有对牛顿第二定律单独命题。也有与其他知识的综合命题，且以各种题型出现。

中学生在用牛顿第二定律解题时，大多是把研究对象看成质点，运用 进行处理。而牛顿第二定律不仅对单个质点适用，对质点组或几个质点的组成的系统也适用，并且有时对系统运用牛顿第二定律要比逐个对单个质点运用牛顿第二定律解题要简便许多，可以省去一些中间环节，大大提高解题速度和减少错误的发生。所以有必要对单个质点和系统的牛顿第二定律进行相关的梳理。

现行高中教科版物理教材对牛顿第二定律的表述：“物体的加速度跟所受的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力方向相同。”牛顿第二定律表达式：F合=ma。定律中所述物体是单个物体或有相同加速度的一个系统。

若把牛顿第二定律推广到具有不同加速度系统则可表述为：系统受到的合力（系统以外的物体对系统内的物体的作用力的合力）等于系统内各物体的质量与其加速度乘积的矢量和。表达式为：F合=m1a1+m2a2+ ……+mnan。式中m1、m2、m3……分别为系统内各物体的质量，a1、a2、a3……为各物体的加速度，F合为这个系统受到的合力。相应的正交分解的表达式为：F合x =m1a1x+m2a2x+……+mnanx，F合y =m1a1y+m2a2y+……+mnany。式中a1x、a2x、a3x……为各物体在x轴上的分加速度，a1y、a2y、a3y……为各物体在y轴上的分加速度，F合x为系统在x轴上受到的合力，F合y为系统在y轴上受到的合力。

下面通过几个实例加以说明：

1.如图所示，一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱和杆的质量为M，环的质量为m，已知环沿着杆加速下滑，加速度为a，则此箱对地面的压力为多少？ 分析与求解：本题既可以用隔离法也可以用系统牛顿第二定律处理

解法一：对m：mg-Ff=ma，对M： Mg+Ff=FN，FN=Mg+mg-ma。

解法二：建立竖直方向直线坐标系，以向下为正方向。对系统受力分析知，系统受竖直向下的重力（M+m）g，竖直向上的支持力FN，由系统的牛顿第二定律得：（M+m）g-FN=ma FN=Mg+mg-ma

2.倾如图所示，倾角€%a=37€埃柿縈=5kg的粗糙斜面位于水平地面上。质量m=2kg的木块置于斜顶端，从静止开始匀加速下滑，经t=2s到达底端，运动路程L=4m，在此过程中斜面保持静止（sin37€？0.6，cos37€？0.8，g取10m/s2）。求：

（1）地面对摩擦力大小与方向；

（2）地面对支持力大小；

分析与求解：本题同样既可以用隔离法单独对木块和斜面进行相应的分析也可以用系统牛顿第二定律处理。

解法一：如图所示，分别对木块和斜面受力分析

L=at2 a==2m/s2

对木块：mgsin€%a-f1=ma

对斜面：f2=N1sin€%a-f1cos€%a=3.2N，方向水平向左

地面对斜面的支持力N2=Mg+N1cos€%a+f1sin€%a=67.6N

解法二：对系统受力进行分析，系统受竖直向下的重力（M+m）g， 竖直向上的支持力N2，水平向左的摩擦力f2。建立水平和竖直方向的直角坐标系，ax=acos€%a ay=asin€%a

由系统的牛顿第二定律得：

f2=max （M+m）g-N=may

f2=macos€%a=3.2N，方向水平向左

N2=（M+m）g-masin€%a=67.6N

3.（2013安徽第4问）如图所示，质量为M、倾角为€%Z的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为€%e，斜面顶端与劲度系数为K、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为3L/4时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。

（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；

（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；

（3）求弹簧的最大伸长量；

（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数€%e应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？

分析与求解：本文仅就第（4）问用系统牛顿第二定律处理加以说明，至于隔离法分析物块和斜面求解的方法请参考高考参考答案。结合前面几问分析知，在物块具有最大向上加速度时保持不动，则整个过程保持不动。即：am=gsin€%Z+KL/4m建立水平和竖直方向的直角坐标系得：amx=acos€%Z amy=asin€%Z

物块运动时，要斜面静止则需要€%e（Mg+mg-mamy）≥mamx

联立求解得：€%e≥

终上所述，若一个系统内各物体的加速度不相同，又不需求系统内物体间的相互作用力时，利用上式求解系统所受的外力，因减少了求未知的内力，这就大大简化了数学运算，使问题的处理较简捷。用这种方法处理问题要抓住两点：（1）分析系统受到的外力；（2）建立直角坐标系将系统内各物体的加速度正交分解，用系统牛顿第二定律正交分解表达式求解。

（责任编辑 易 凡）endprint