初中数学“图形变换”型问题的解决途径研究

王占康

摘 要： 图形变换是初中数学教学的重点和难点，是近年来中考的热点问题，多数学生对此类问题存在较大的困惑，因此作者有了着手研究解决这个困惑的动机，目的是积累教学图形变换问题的经验，进而找到解决此类问题的有效途径.

关键词： 初中数学 图形变换 问题解决 案例分析

在知识发展过程中，教与学是解决矛盾的最常见的途径，为使教学成为解决矛盾的有效途径，一线教师应该与时俱进，不断充电，总结经验，寻找帮助学生解决问题的有效途径.频繁出现的“图形变换”的试题，让我们欣喜地看到了龙岩初中教育的进步，时代提出了图形研究的方向：由过去的静态图形向现在的动态图形的转变，改变以往学习图形的方式，学习更有用的数学，充分发挥数学基础学科的作用，服务于社会的各行各业.

在数学问题的研究中，常常要用到变换的方法.图形变换就是几何图形在平面上满足某种条件的运动.运用图形变换将分散的点、线段、角等已知图形转移到恰当的位置，从而使分散的条件都集中在某个基本图形中，建立起某种数量关系，进而使问题得以转化解决.

一、图形变换型问题教与学的现状分析

虽然图形变换的问题学生早有接触，但是经过问题同属一类专题复习训练后，老师和学生仍然存在很大的困惑，题目千变万化，学生难以突破，原因何在？

教师对图形变换的思想方法理解不到位：大多数教师只停留在图形变换的定义，性质及简单的图形变换的作图或图形的欣赏层面上.图形变换包含两种非常重要的数学思想：转化思想与数形结合思想.这一点为许多教师所忽视.若老师缺乏对图形变换的深入研究，则一批学习尖子对这块知识的思想方法会是一块空白，导致在实践中看不到学生图形变换思想方法的能力体现，因此在教学中图形变换问题成了老师和学生的数学阴影.

学生对图形变换的思想方法理解的差异：每个学生的生活阅历，理解能力和已有知识水平的差异导致学生对图形变换思想方法的学习效果也有差异.在实际教学中要求的梯度较大，导致不同层面的学生理解和应用层次差异明显，有些学生对基本的定义理解很吃力，但有部分学生对问题产生了极其浓厚的兴趣，在原有扎实的空间与图形论证功底的前提下，很快地实现了图形变换思想方法的突破，具备解决图形变换的综合题的能力.

二、图形变换型问题的解决途径

初中数学里讨论的图形变换包含全等变换和相似变换.全等变换主要有平移、翻折、旋转.相似变换主要研究位似.图形变换型问题的解决途径是需要我们通过实验、操作、观察和想象的方法分析运动的本质，在图形的运动变化过程中找到不变量，建立数量关系然后解决问题.

问题：（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从点B出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点A平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围.

解决途径分析：

（1）夯实平移变换的基础理论：

平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.

平移的性质：

①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；

②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）；

③平移是由方向和距离决定的。

（2）通过实验、操作、观察和想象的方法分析运动的本质：

引导学生制作一个与问题中全等的矩形，最好纸质透明（以便在平移的实验过程中观察），随后让学生自行操作，或同伴合作操作，按题目的要求进行平移，注意观察在平移过程中矩形与△ABC重叠的图形形状的变化，分析平移的运动本质：在12秒的运动时间里矩形向左平移了12个单位，G点从B点开始向终点A停止；平移过程中重叠的图形依次为五边形，直角梯形，直角三角形.

⑶在图形的运动变化过程中找到不变量，建立数量关系然后解决问题：

②难点分析：在x轴上有6个点，共15条线段，将这15条线段的长度一一落实.通过这些训练，学生更深一步理解了这个模型.从而消除了学生的畏难情绪，排除了心理障碍.在弄清这些线段的前提下，再探究相应线段上的高，可以用三角函数或相似形处理，因此得到了计算各种情况图形面积所需的线段长度.

③问题拓展：在计算重叠面积时进一步确认面积计算的策略：直接计算与间接计算，并比较方法优劣.矩形EFGD在向左平移叠过程中与△ABC不重叠的部分面积计算方法？

解题经验告诉我们在几何问题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的答案.图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效提高思维品质.

总之，平移，旋转，轴对称，位似等图形变换是空间思维能力训练的最佳体操，运用它思考图形问题会使我们体会到思维的敏捷，感悟到数学的优美.作为老师，我们应该将图形变换的思想方法贯穿于日常的教学中，有目的地引导学生针对一类一类图形变换进行归类研究，把握好新旧知识之间的联系与迁移，应用好图形变换的数学思想方法，实现具体与抽象的转化，实现知识之间的融会贯通，培养学生的多元与创新数学思维品质，顺应时代对数学学习的要求.

参考文献：

[1]初中数学教与学.2012.

[2]马学斌，舒耀俐，彭翁成.挑战中考数学压轴题.华东师范大学出版社.

[3]张思明.理解数学.