数学教学中常见错例分析

易岚

摘 要：数学教学中常见错例分析是初中数学教学过程的一个重要组成部分，本文通过平时的教学总结，悟出了初中阶段常见错例分析的一些对策。

关键词：数学概念；运算能力；思维能力

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）15-389-02

数学概念是数学思维的细胞，是形成数学知识体系的基本要求，是数学基础知识的核心，教好数学概念是提高中学数学质量的关键。

在教学中，学生在数学作业中出现的许多错误是因为对概念的内涵、外延、表达、叙述不清楚，理解不透彻、变式不够完全，没有掌握住概念中本质的内容，没有对其中的关键词句的含义真正理解而产生的。概念教学至关重要，在整个数学教学中起着举足轻重的作用。因此，有必要对概念中出现的错误进行分析，从而不断积累经验，鞭策不足。下面就以教学中学生作业里的错误作浅显分析：

一、《四边形》中常见错例分析

在《四边形》这一章的测试题中，常有以下类型的选择题（判断题）

1、下列给出的四边形条件中，能判定其为平行四边形的是（ ）。

A、一组对边相等，另一组对边平行；

B、一组对边平行，一组邻角互补；

C、一组对边相等，且两条对角线相等；

D、一组对角相等，一组对边平行。

2、已知命题（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相垂直的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直相等的四边形是正方形；（4）内角度数比为1：1：1：1的四边形是正方形。

题2中真命题的个数是（ ）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

第1、2题的正确答案分别是D和A。

这两道选择题均属于基本概念辨析，难度不大，但正确率小，我对错因作如下分析：

1、忽视判定一个图形所必要的独立条件

由定义知，判定一个四边形是平行四边形有以下几种方法：（1）一组对边分别平行且相等；（2）两组对边分别平行的四边形；（3）两组对边分别相等的四边形等。我们发现每种判定中都含有两个独立的条件，一是一组对边平行且相等，二是两组对边分别平行。

判定一个四边形是矩形有三种方法：（1）有三个角是直角的四边形；（2）有一个角是直角的平行四边形；（3）两条对角线相等的平行四边形。每一种判定中包含有三个独立条件；（2）中是“有一个角是直角”和“平行四边形中对边分别相等，分别平行”共三个条件。

判定一个四边形是菱形方法中如（1）对角线互相垂直的平行四边形，（2）有一组邻边相等的平行四边形。这里每组方法中都含有三个独立的条件：一是“对角线互相垂直”，“有一组邻边相等”，二是“平行四边形”中又有两个条件。

判定一个四边形是正方形的方法有：（1）有一组邻边相等的矩形；（2）有一个角是直角的菱形。每种方法中的条件都有四个：一是有一组邻边相等；二是“矩形”，而矩形中又含有三个条件，因而说判定一个四边形是正方形共需四个独立条件。

而以上各题中如2（1）（2）都只有一个条件，而2（3）只有两个条件，题2（4）中只有三个条件，比所需要都少了一个，所以都是假命题。

2、在探求符合题设条件的图形时，思考不周，以偏概全，以特殊代替一般造成错解。

3、混淆了图形的性质定理和判定定理的区别。以矩形为例对角线相等是矩形的一个性质，但对角线相等的四边形未必是矩形，如果用对角线相等来判定四边形是矩形，这是用性质定理代替判定定理，混淆了两者区别，忽视了矩形是特殊的平行四边形，首先必须是平行四边形。同样正方形是特殊的矩形或菱形，首先必须是矩形或菱形。这是造成题2的四个假命题错判为真命题的又一原因。

学习几何，必须清晰地感知慨念，分清图形的性质与判定，处理好特殊与一般的关系。

二、《数的开方》中常见错例分析

平方根和算术平方根是《数的开方》一章的两个重要的概念，初学者往往对两个概念理解不准确造成各种各样的错误，下面举例说明之：

1、（1）52的平方根是（ ）；（2）（ ）2的平方根是（ ）。

错误答案是（1）5，（2） 。答案不全，漏掉了其中隐含的另一平方根，产生错误的原因是对平方根的个数没有搞清，误认为a2的平方根

只有a。而忽视了另一平方根-a。

2、化简

错误答案是 ，评析：错因是对“ ”、“ ”、“- ”的涵义没有搞清楚。一般地若a≥0，则 表示a的平方根， 表示a的算术平方根； 表示a的负的平方根，所以正确的答案为 。

3、（3.14 ）2的算术平方根是（ ）

错误答案是 。错因在于忽视了算术平方根的非负性，而误认为a2算术平方根是a，事实上，当a≥0时a2算术平方根是a，a<0时a2的算术平方根是 。正确答案是 （ ）

4、 的算术平方根是（ ）

错误答案是25。错误的原因是没有仔细审题，错误地把题意理解为求625的算术平方根。实际上，这道题的涵义是求625的算术平方根。正确答案是5。

5、判断（1）有理数a的算术平方根是 ；②若a有平方根，b有平方根则 或者 也有平方根

错误答案是（1）真（2）真。评析：许多同学虽然知道负数没有平方根，然而在实际应用中却常常忽视这一点。（1）由于忽视了a有可能为负数而产生错误，（2）中a、b都有平方根只能判定 ， ，而不能保证 或 。所以 或 也就不一定有平方根了。但如果把（2）的结果改成则“ab或 、 ”也有平方根是正确的。

6、判断（1）64的立方根是 ；（2）不论a取什么数 都有立方根

错误答案是（1）真（2）假。评析：产生错误的原因是受平方根的影响从而产生一些错误的看法，事实上，任何一个实数都有立方根而且只有一个。

三、其他错例分析

1、在代数中常有如下之类的填空题

（1）已知2a3n-4bm+2与 2m 6-n是同类项，则m= ，n= 。

（2）若3xa-b-1+7y2a+b=3是二元一次方程。则a= ，b= 。

这两道题属于基本概念题，部分同学做不出或答案不正确，原因：

（1）对概念的本质属性理解不透彻，没有明确同类项，二元一次方程所具备的的两个条件。学生由于只看到字母相同，方程中有两个未知数，但字母或未知数的指数不是用具体数表示时，就感到茫然，不知从何下手。

（2）学生的逆向思维的思考方法没有得到足够的训练。a当这两个单项式时b这个方程是二元一次方程时，说明它们已经具备了两个条件。如果是同类项时，所含字母相同；相同字母的指数分别相等即 解这两个二元一次方程就可。b变式练习不够，故在教学时应加强训练。

2、已知 2 ，那么 ， 。

往往解不出 的原因在于对于平方根，绝对值的涵义理解不够，事实上， 2+ 都是非负数，而两个非负数之和为零，只有这两个数都是零时才可能成立，所以这个题应转化为解

3、如图，直线 上有A、B、C、D、E点，线段的条数共有（ ）。

A、4 B、5 C、10 D、13

产生错误的原因是由于线段之间有重叠部分，数起来往往较费时且遗漏或重复。所以对这类题应这样分析：因为一条线段有两个端点，若以A为线段的一个端点，则另一端点是B、C、D、E即有线段AB、AD、AE，同样以B为一个端点的线段；以C为端点的线段有CD、CE，以D为端点的线段DE，合计有10条线段。从而我们可以总结归纳出一个较简单而准确的数线段条数的方法：只要点的顺序从左到右（从右到左）依次数出就行，即不会出现重复，也不会遗漏。仿此方法对下列角的个数，对顶角的对数就可以快速地得到正确的结论。

正如前面所说的，数学中对概念的掌握影响着教学质量。所以，我们再教学中要不断分析发生错误的原因，寻找克服的途径，从而总 结经验，以达到概念教学的要求：准确地揭示概念概念的内涵和外延，使学生深刻理解概念，并能再解答各类问题时灵活运用概念。

参考文献：

[1] 《中学数学教学参考》，2011（3）.

[2] 《数理天地》，2012（5）.