莫芬利 刘清泉
[摘要] 解决与分式相关的问题时,常常要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答.其中有很多方法具有典型性和代表性,本文就相关问题的解答梳理其中的常用策略.
[关键词] 分式问题;常用策略
分式是初中数学的一个重要内容,竞赛中与分式化简、求值、证明、变形和方程等相关的试题,求解时通常技巧性很强. 笔者就近几年的热点试题,归纳其中使用频率较高的技巧和方法.
■ 分组求和
例1(2002上海)计算:■+■+…+■+…+■=________.
解析?摇 由■+■=■=2,
易知,可对所求式分组求和,易得答案为99.
■ 约分先行
例2?摇 化简: ■+■+■.
解析?摇 原式=■+■+■
=■+■+■
=1
■ 分组通分
例3?摇 求证:■+■+■=■+■+■+■.
证明?摇 由■-■+■-■+■-■
=■+■+■=■,得证.
■ 分步通分
例4(2004希望杯)代数式=■+■+■+■,化简的结果为_________.
解析?摇 原式=■+■+■=■+■=■.
■ 分离整式
例5?摇 化简:■+■-■.
解析?摇 原式=■+■-■
=2-■+2+■-4-■=■.
■ 同取倒数
例6(2009天津)已知■=2,■=3,■=4,求7x+5y-2z的值.
解析?摇 由已知可得■=■+■=■,■=■+■=■,■=■+■=■,
则■=■,■=■,■=■,解得x=■,y=■,z=24,则7x+5y-2z=0.
■ 等比设“k”
例7(2008北京)若■=■=■=■,求■+■+■+■的值.
解析?摇 设■=■=■=■=k,则k(y+z+u)=x,k(z+u+x)=y,k(u+x+y)=z,k(x+y+z)=u. 于是3k(x+y+z+u)=x+y+z+u. 所以x+y+z+u=0或k=■. 当x+y+z+u=0时,易求所求式=-4;当k=■时,由y+z+u=3x,z+u+x=3y,u+x+y=3z,x+y+z=3u易得x=y=z=u,此时所求式=4.
点评?摇 本题亦可利用等比的性质求解,不过需要分x+y+z+u是否等于0进行讨论.
■ 裂项相消
例8(2007全国竞赛) 已知对于任意正整数n,都有a1+a2+…+an=n3,则■+■+…+■=________.
解析?摇 由a■+a■+…+an=n3及a■+a■+…+a■=(n-1)3,得a■=n3-(n-1)3=3n2-3n+1,则■=■=■■-■,则■+■+…+■=■·1-■+■-■+…+■-■=■.
■ 排序放缩
例9(2011全国竞赛)设S=■+■+■+…+■,则4S的整数部分等于________.
A. 4?摇?摇?摇?摇?摇B. 5?摇?摇?摇?摇?摇 C. 6?摇?摇?摇?摇?摇D. 7?摇
解析?摇 当k=2,3,…,2011时,■<■=■■-■,得1
点评?摇 此类问题常借助裂项相消达到放缩的目的,特别地,有时结合轮换对称的特性需要先排序再放缩.
■ 逆代相关
例10?摇 (2012全国联赛)已知实数a,b,c满足abc=-1,a+b+c=4,■+■+■=■,则a2+b2+c2=________.
解析由abc=-1,■+■+■=■,得■+■+■=■,则■+■+■=■. 于是■+■+■=■,所以■+■+■=■. 化简得-■=1-a-b-c+ac+bc+ca-abc,所以2ab+2bc+2ca=-■. 所以a 2+b 2+c 2=(a+b+c) 2-(2ab+2bc+2ca)=■.
■ 整体换元
例11?摇 (2014北京)求证:对任意两两不等的三个数a,b,c,■+■+■是常数.
证明?摇 设a+b-c=x①,b+c-a=y②,c+a-b=z③,①-②得a-c=■,②-③得b-a=■,③-①得c-b=■.
所以原式=■+■+■
=■
=■
=■
=■
=4.
点评?摇 本题通过对较为复杂的分子整体换元,达到了使分式形式更为简单的目的,从而易于对分式变形.
■ 整体代入
例12?摇 (2006江苏)如果■=■,那么■=_________.
解析?摇 由■=■得■=■,从而x2+■=3,所以所求式=■=4.
■ 整体求值
例13(2012全国竞赛)如果a,b,c是正数,且满足a+b+c=9,■+■+■=■,那么■+■+■的值为_________.
解析?摇 由已知可得■+■+■=10,则■+1+■+1+■+1=10,故■+■+■=7.
■ 因式分解
例14 (2009全国联赛)已知正数a,b,c满足如下两个条件:a+b+c=32,■+■+■=■. 证明:以■,■,■为三边长可构成一个直角三角形.
解析?摇 由■+■+■=■得■+■+■=■,化简得abc-128(a+b+c)+8(a 2+b 2+c 2)=0(﹡). 由(a+b+c) 2=(a 2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=32 2得a 2+b2+c2=1024-2(ab+bc+ca),代入(﹡)式,得abc-16(ab+bc+ca)-128·(a+b+c)+8192=0,所以abc-16(ab+bc+ca)+256(a+b+c)-4096=0. 对左边以a为主元分组因式分解,得a(bc-16b-16c+256)-16(bc-16b-16c+256)=0,所以(a-16)(b-16)(c-16)=0. 所以a=16或b=16或c=16. 又a+b+c=32,所以,a=b+c,b=c+a,c=a+b至少有一个成立,证毕.
点评?摇 很多与分式相关的题目,通常通过“去分母”转化为整式问题,从而利用整式的相关解题方法(特别是因式分解)加以解决.
■ 借助函数
例15?摇 a,b,c互不相等,证明:■+■+■=x 2.
解析记等式左边为f(x),显然,f(a)=a 2,f(b)=b 2,f(c)=c 2. 易知,点(a,a 2),(b,b 2),(c,c 2)都在f(x)的图象上,又都在g(x)=x 2的图象上,由不在同一直线上的三个点确定一条抛物线,可知f(x)=g(x)=x 2,证毕.
本文中,笔者结合与分式相关的初中竞赛试题,例析其中的常见类型及其解决策略,并力求将相关的策略封闭,不过,其中有些案例的解决另有它法,同时,与分式相关的其他问题,由于缺乏普遍性、代表性,此处不再赘述.