数学问题设计的方法

缪任祥

摘 要： 重视数学问题的设计，引发学生思维，让学生开动脑筋，有利于学生更好地理解知识，提高能力.设计问题要符合学生的认知水平，要有效，具有启发性；问题不能过于抽象、形式化和书面化，学生会感到无法回答.本文结合直线的斜率和二元一次不等式表示的平面区域两个教学片段，提出数学问题的设计要富有启发性、层次性和系统性.

关键词： 数学问题 设计方法 启发性 层次性

哈尔莫斯有句名言：“问题是数学的心脏！”

课堂上，数学问题是引发学生思维与探究活动的向导.有了问题，才能激发学生的好奇心，有了问题才能启动学生的思维，有了问题，学生的探究才能真正有效，学习才能有持续的动力.通过问题，能够把知识的逻辑结构转化为学生的认知结构.在解决问题的过程中，学生发现数学的内在规律，理解数学的本质，并且有效地建构数学[1].

一、化抽象为具体，有启发性

抽象的知识内容单调枯燥，令人费解，一旦变成形象直观的知识，就容易记忆.教师通过把抽象的知识设定成具体的问题，让抽象的知识具体化，学生就会乐于学习.

[教学片段1]直线的斜率

问题1：经过一点可以画出多少条直线？如何确定其中的一条直线呢？请画图说明.

生：有无数条，沿着确定的方向就可以确定直线的位置，或者选取直线上另外一个点就可以确定该直线的位置.两点可以确定一条直线，如图（1）所示.

师：很好！

问题2：直线的方向和直线上两个点的坐标有何关系呢？

生：（思考，感到困惑）

师：（提示，类比）楼梯或路面的倾斜程度可用坡度刻画，如图⑵，⑶坡度与高度成正比，与宽度成反比，即：坡度= .

（1）？摇？摇 ？摇？摇？摇？摇（2）？摇 ？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇（3）

（4）？摇 ？摇？摇？摇？摇？摇（5）

（6）？摇？摇？摇？摇 ？摇（7）

现在，将直线放到平面直角坐标系中，如图⑷在直线上任意取两点P（x ，y ），Q（x ，y ），类比坡度，我们用比值 表示直线的倾斜程度，记k= .此时，k>0仍然没有脱离具体的情景，高度，宽度，具体的点P，Q.因而需要去情景化，公式中x -x ，y -y 是对应的坐标之差，不必考虑长度或距离[2].如图⑹中比值k<0，当直线垂直于轴时，k=0.所以，k∈R，对于一条不与轴垂直的直线它的斜率是一个定值.这个比值由直线本身所决定，与所取点的位置无关.

此时，我们称k= 为直线的斜率.

规定，当直线垂直于x轴时斜率不存在，如图（5）.

如果把直线的斜率看成是直线上的两个点坐标之差的比值，那是用一个“数”来刻画直线的方向；现在，我们思考怎样从“几何”的角度理解直线的方向？

问题3：在平面直角坐标系中如何理解直线的方向？图（7）中三条直线的方向有何不同，怎样描述？

生：相对于x轴的倾斜程度不同.

师：选择哪一个角为倾斜角？

生：直线与x轴相交于一点，将x轴绕着交点按照逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小的正角，为直线的倾斜角.

师：倾斜角的范围是什么？

生：[0°，180°），规定：当直线平行于x轴或者就是x轴时，倾斜角是0°.

问题4：表示直线方向的两个特征量——倾斜角和斜率之间有何关系？

生：在图（4）中，k= =tanα，在图（6）中，k= = =-tan∠PQN，∵∠PQN=π-α，∴tan∠PQN=tanα.所以，k=tanα.

师：很好！此时，我们得到结论：当直线与轴不垂直时，直线的斜率与倾斜角之间满足关系k=tanα.

二、设计问题串，有层次性

根据教学内容设计问题时，要注重问题的整体性，层次性，探究性.

一堂课是一个有机的整体，从初始问题开始到回顾反思应当是一个系统完整的思维整体，否则，课堂就被分解得支离破碎，没有合力，带给学生的只是知识与技能而不能达到锻炼思维的目的.孤立的问题对学生的思维几乎没有什么作用，然而以问题串的形式出现，能够让学生进行连续的思维活动，思维不断攀升到新的高度.

[教学片段2]二元一次不等表示的平面区域

问题1：在平面直角坐标系中，点集{（x，y）|y=x+1}表示什么图形？

问题2：在平面直角坐标系中，点集{（x，y）|y

生：（学生思考，老师给予适当时间）

问题3：判断这些点（0，0），（-1，-1），（1，1），（1，-2），（3，3），是不是y

生：（经过检验，回答）是的.

问题4：如果把这些点标到直角坐标系中，请大家仔细观察有什么共同特点？

生：都位于直线y=x+1的下方.

（8）？摇？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇？摇（9）

师：再来看点集{（x，y）|y

生：由于这些点都是不等式的解，而这些点又都在直线y=x+1的下方.因此，我猜测：以不等式y

师：很好！这是一个了不起的发现.

问题5：我们怎样证明：以不等式y

生：如图8，坐标Q（x，y

问题6：反过来，直线下方的点坐标都满足不等式y

生：都满足.如图8，设直线下方区域的点Q （x ，y ），直线上一点P（x，y），则x=x ，y>y ，y

结论：一般地，直线y=kx+b把平面分成两个区域（如图9），y>kx+b表示直线上方的平面区域，y

问题7：如何确定一般式Ax+By+C>0（A +B ≠0）所表示的平面区域？我们通过具体的例子来看：不等式2x+y-1>0表示的平面区域是什么？

生：等价于不等式y>-2x+1，表示直线2x+y-1=0的上方区域.一般的，对系数B讨论转化为斜截式.如：当B>0时，原不等式转化为不等式y>- x- ，表示直线Ax+By+C=0是上方区域.

师：有其他判断方法吗？

生：由问题6的证明可以看到，位于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）代入式子Ax+By+C所得实数的符号都相同.那么，任选一个不在直线上的点检验它的坐标是否满足所给的不等式.若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域.

师：很好！当C≠0，我们通常把原点作为特殊点，当C=0时，选点（1，0）或（0，1）.

结论2：我们称这种方法为“选点法”：直线定界，特殊点定域.

[教学反思]教学片段1和2都体现了数学基本思想，即数形结合思想，由特殊到一般的思想。在片段1中，采用直观方法建构斜率公式，讲清楚斜率是定值，由直线本身决定，与直线上所取的点位置无关.在片段2中，通过取特殊点验证二元一次不等式的解，从两个方面说明二元一次不等式表示的平面区域.将抽象的问题具体化，设计成问题串的形式，使得学生在课堂上有收获，达到锻炼思维的目的.

课堂上既要教给学生一定的知识，又要教给学生方法，让学生学会学习.在平常教学中，需要把教师和学生的活动整合到提出问题、解决问题的过程中，教师通过提出问题，调控学生的思维活动，揭示知识的发生过程，传递数学文化信息.让学生在解决问题的过程中做数学，学数学，体验数学，培养能力，增长知识.

参考文献：

[1]李善良著.高中数学课程改革探究与实践.

[2]渠东剑.基于尊重学生探究倾向设计教学.中学数学教学参考，2014年4月上旬：12-15.

[3]沈微微.有效提问，提高课堂效率.数学教学，2014（1）：9-11.

[4]刘金燕.谈高中数学课堂教学中有效提问的策略.中学数学月刊，2014（4）：15-16.

结论：一般地，直线y=kx+b把平面分成两个区域（如图9），y>kx+b表示直线上方的平面区域，y

问题7：如何确定一般式Ax+By+C>0（A +B ≠0）所表示的平面区域？我们通过具体的例子来看：不等式2x+y-1>0表示的平面区域是什么？

生：等价于不等式y>-2x+1，表示直线2x+y-1=0的上方区域.一般的，对系数B讨论转化为斜截式.如：当B>0时，原不等式转化为不等式y>- x- ，表示直线Ax+By+C=0是上方区域.

师：有其他判断方法吗？

生：由问题6的证明可以看到，位于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）代入式子Ax+By+C所得实数的符号都相同.那么，任选一个不在直线上的点检验它的坐标是否满足所给的不等式.若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域.

师：很好！当C≠0，我们通常把原点作为特殊点，当C=0时，选点（1，0）或（0，1）.

结论2：我们称这种方法为“选点法”：直线定界，特殊点定域.

[教学反思]教学片段1和2都体现了数学基本思想，即数形结合思想，由特殊到一般的思想。在片段1中，采用直观方法建构斜率公式，讲清楚斜率是定值，由直线本身决定，与直线上所取的点位置无关.在片段2中，通过取特殊点验证二元一次不等式的解，从两个方面说明二元一次不等式表示的平面区域.将抽象的问题具体化，设计成问题串的形式，使得学生在课堂上有收获，达到锻炼思维的目的.

课堂上既要教给学生一定的知识，又要教给学生方法，让学生学会学习.在平常教学中，需要把教师和学生的活动整合到提出问题、解决问题的过程中，教师通过提出问题，调控学生的思维活动，揭示知识的发生过程，传递数学文化信息.让学生在解决问题的过程中做数学，学数学，体验数学，培养能力，增长知识.

参考文献：

[1]李善良著.高中数学课程改革探究与实践.

[2]渠东剑.基于尊重学生探究倾向设计教学.中学数学教学参考，2014年4月上旬：12-15.

[3]沈微微.有效提问，提高课堂效率.数学教学，2014（1）：9-11.

[4]刘金燕.谈高中数学课堂教学中有效提问的策略.中学数学月刊，2014（4）：15-16.

结论：一般地，直线y=kx+b把平面分成两个区域（如图9），y>kx+b表示直线上方的平面区域，y

问题7：如何确定一般式Ax+By+C>0（A +B ≠0）所表示的平面区域？我们通过具体的例子来看：不等式2x+y-1>0表示的平面区域是什么？

生：等价于不等式y>-2x+1，表示直线2x+y-1=0的上方区域.一般的，对系数B讨论转化为斜截式.如：当B>0时，原不等式转化为不等式y>- x- ，表示直线Ax+By+C=0是上方区域.

师：有其他判断方法吗？

生：由问题6的证明可以看到，位于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）代入式子Ax+By+C所得实数的符号都相同.那么，任选一个不在直线上的点检验它的坐标是否满足所给的不等式.若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域.

师：很好！当C≠0，我们通常把原点作为特殊点，当C=0时，选点（1，0）或（0，1）.

结论2：我们称这种方法为“选点法”：直线定界，特殊点定域.

[教学反思]教学片段1和2都体现了数学基本思想，即数形结合思想，由特殊到一般的思想。在片段1中，采用直观方法建构斜率公式，讲清楚斜率是定值，由直线本身决定，与直线上所取的点位置无关.在片段2中，通过取特殊点验证二元一次不等式的解，从两个方面说明二元一次不等式表示的平面区域.将抽象的问题具体化，设计成问题串的形式，使得学生在课堂上有收获，达到锻炼思维的目的.

课堂上既要教给学生一定的知识，又要教给学生方法，让学生学会学习.在平常教学中，需要把教师和学生的活动整合到提出问题、解决问题的过程中，教师通过提出问题，调控学生的思维活动，揭示知识的发生过程，传递数学文化信息.让学生在解决问题的过程中做数学，学数学，体验数学，培养能力，增长知识.

参考文献：

[1]李善良著.高中数学课程改革探究与实践.

[2]渠东剑.基于尊重学生探究倾向设计教学.中学数学教学参考，2014年4月上旬：12-15.

[3]沈微微.有效提问，提高课堂效率.数学教学，2014（1）：9-11.

[4]刘金燕.谈高中数学课堂教学中有效提问的策略.中学数学月刊，2014（4）：15-16.