当好向导和引路人

王建芬

摘 要： 本文是以中考压轴题为背景，采用数学探究教学方式，体现以学生为主体的数学课堂教学。通过发挥教师运筹帷幄主角向导的作用，引导学生敢于探究并积极主动参与教学，转变教师的教学方式和学生的学习方式，体会进行探究性学习的思想与方法及引发理性归纳和引申拓展的思维。

关键词： 数学课堂教学 引导探究 归纳提炼 拓展延伸

《数学课程标准》指出：中考命题坚持以能力立意、体现新课程理念。其中培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，激发学生的创新意识，提高学生数学探究及交流能力，发展学生的数学实践能力尤为重要。本案例通过引导学生敢于质疑并积极主动参与教学，达到了较好的效果。尽管教学过程缺少规范性，但是通过学生自主探究，有效地培养多种能力，尤其是让学生体会到了探究性学习的思想与方法及相互协作的精神。

1.背景介绍

2014年2月下旬，龙湾区举行了初中学校的数学教研联姻活动，笔者应邀在一所初中开展送教活动。课堂上，笔者出示了2013年嘉兴的24题平行四边形存在性问题的典型压轴例题，发觉学生就此题得分率不高。经仔细研究发现，这是一个值得研究、探索、引申、拓展、重组、求活、求变、求新编题的好素材。同时为响应落实教育局发布的“中学学本课堂”活动细则之一——评估教师是否注重课堂教学分析，并针对教学分析结果及时采取应对措施，进一步认真做好课堂教学分析工作。为此笔者为这个压轴题设计了一节以解决动点前提下的平行四边形存在性问题的课例，为这个压轴题的顺利解决做好准备，为学生今后遇到与此类似的问题扫清障碍。

2.案例描述

2.1出示原题，感知问题情境。

初三复习过程中，涉及压轴题的复习，其中2013年嘉兴的24题是平行四边形存在性问题的典型例题，作为示例给学生讲解。题目如下：

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=■（x-m）■-m■+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连接BD.作AE∥x轴，DE∥y轴.

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图像的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

2.2提出问题，确定分类标准。

近几年的中考试题中，存在性问题多以压轴题的形式出现，其涵盖的知识点丰富，综合性强，题意构思巧妙，解题方法灵活多样，对考查学生的分析问题能力和解决问题能力要求较高，是近几年的热点问题。本节课主要是解决平行四边形的存在性问题。按照解决问题的步骤从简单的基本图形开始，所以本节课由浅入深地设置问题。

问题1：请你在下图中画出以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形。

问题的起点较低，学生容易入手，但解决问题的思维要求较高，学生不容易考虑周全，这样的问题情境可以激发学生的求知欲望；由于图形形状的不确定性，引发了需要按一定的标准讨论解决这个问题的必要性，并顺势点题。

在学生解答正确的情况下，教师回顾解题过程，总结出找第四点时，一类作图方法是以已知边为平行四边形的边，一类作图方法是以已知边为平行四边形的对角线，学生对分类标准有了初步认识。

此题提出后，确定了学生的思考点是：在平行四边形分类讨论问题中，常以什么为分类标准？

学生在答题时没有人提出异议，分别确立了以三边分别为对角线和以两边组合为平行四边形的邻边的分类标准，这个问题较基础，初三学生能很熟练地根据自己的解题习惯解答。因此，笔者在课前备课时把它作为这节课的重点知识点，也是基本知识点。

2.3建立坐标，明确点的位置。

问题1的设计意图是让学生从易到难先确定平行四边形存在性问题的分类标准，但问题往往不是这么简单就结束的，所以为了后续的问题深入，必须把基本图形放入直角坐标系中，这样才能确定点的坐标，以及结合函数进行讨论。

问题2：若加入平面直角坐标系，你能求出点D的坐标吗？若C点坐标改为（a，b）呢，你能写出点D坐标吗？

课堂进行到此，学生思路已然打开，大脑处于兴奋状态，此时引入平面直角坐标系，把学生的思维引向纵深，更使数与形有机结合，实现了“形”与“数”的转化；同时两个小题实现步步铺垫，由特殊到一般，层层深入，循序渐进地探索出平行四边形四个顶点坐标之间的关系这一更具普遍性的规律，为下一步的变式埋下了伏笔，可谓一举多得。

2.4拓展思维，创设函数背景。

平面直角坐标系是连接代数与几何的桥梁，平行四边形既然放入了平面直角坐标系中，则必然是和函数相联系的。在前面两问都是已知三个定点求构成平行四边形的第四个点的基础上，在加入了函数的条件后则可以转变一个定点为动点，但使得动点需满足一定条件的前提下讨论平行四边形的存在性。

问题3：若条件中加入二次函数的背景，如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x■+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标。

此问题是把定点C改为动点，从而使定点的个数从三个变成两个，把点C改为点P，但满足点P是y轴上的动点。这样改动的意图是既加大问题的难度，使问题具有梯度性，又结合二次函数的特点，让学生能把平行四边形和二次函数的特点相结合。

通过前面问题1、2、3的提出，追问针对此情形具体又该如何思考？学生一时无法解释。此时课堂上学生的主体地位已完全凸现。问题是探究的核心，有思必有探，有探必有究，“问”是创新意识的具体体现。于是笔者顺势要求学生：1.找出此题的难点，即要解决的题眼；2.提炼平行四边形探究的依据，启发探究新创造；3.认识其本质，即不管动点是在y轴还是抛物线上，讨论平行四边形的存在性时，还是需满足平行四边形的性质。endprint

2.5归纳总结，拓展思维变式。

通过笔者的引导，师生对话、互动，所探究的问题犹如磁铁一般吸引着学生，带着强烈的好奇心，学生的自主探究便扬帆起航了。学生纷纷发表各自的想法，有的写在纸上。笔者不失时机地利用投影把他们的结果展示在屏幕上。顺利解答问题3后，再进行归纳总结，为下面的动点条件的变式的解决打好基础。

问题4：在问题3的基础上若点P在抛物线的对称轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标。

课堂提问是回答的同学已经很好地理解了其中的PM和AB平行且相等或PM和AB互相平分的关系，并且能正确选择思路进行运算得出结果，现在我们可以确定条件中只需给出两个定点，两个动点满足一定的关系即可，并且它们可能受到某个范围的限制，两个动点条件可随意转换。在此基础上追问问题5。

问题5：当P的条件不变，改变点M的条件，使点M在一条直线上，请确定这条直线的函数解析式，求点M的坐标。

请两位同学板演自己的解答过程后，要求学生对此类问题进行归纳总结。即平行四边形的存在性问题可能有三个定点也可能有两个定点，如果有三个定点则只需分别按一边为对角线进行分类讨论即可；当两个定点时，不管另外两个动点满足什么条件时，只需根据平行四边形的性质使两个动点和两个定点构成的线段分别为平行四边形的对边和对角线进行讨论即可。

2.6学以致用，解决背景问题。

3.案例反思

纵观整堂课的教学过程，尽管没有遵循传统的教学模式，但是得到了大量来自学生内部的第一手素材与信息，充分展示了学生提问、讨论、质疑、交流、归纳、延伸的思维活动的过程，从而使学生的知识结构被唤醒、数学思想被激活、创新意识被启迪，真正品尝到了成功的喜悦。建构主义学习观认为，知识并不是简单地传授，而是由学生依据自身已有的知识、经验、认知框架的不断变革或重组主动加以建构。因此，我们在教学中力求培养学生的自主学习意识，让学生有明确的学习目的，有一定的思维深度和广度等，提高课堂教学有效性。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订.初中数学课程标准（2011版）[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2]马秋霞.2014年中考数学专题复习课例题设计——图形的相似.中学数学教学参考[J].2014，3.

[3]孙树德.从习题的挖掘与引申谈学生思维品质的培养[J].中国数学教育，2014，3.

[4]韩敬.由一道中考题的多证引发的结论及应用[J].中国数学教育，2014，3.endprint

2.5归纳总结，拓展思维变式。

通过笔者的引导，师生对话、互动，所探究的问题犹如磁铁一般吸引着学生，带着强烈的好奇心，学生的自主探究便扬帆起航了。学生纷纷发表各自的想法，有的写在纸上。笔者不失时机地利用投影把他们的结果展示在屏幕上。顺利解答问题3后，再进行归纳总结，为下面的动点条件的变式的解决打好基础。

问题4：在问题3的基础上若点P在抛物线的对称轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标。

课堂提问是回答的同学已经很好地理解了其中的PM和AB平行且相等或PM和AB互相平分的关系，并且能正确选择思路进行运算得出结果，现在我们可以确定条件中只需给出两个定点，两个动点满足一定的关系即可，并且它们可能受到某个范围的限制，两个动点条件可随意转换。在此基础上追问问题5。

问题5：当P的条件不变，改变点M的条件，使点M在一条直线上，请确定这条直线的函数解析式，求点M的坐标。

请两位同学板演自己的解答过程后，要求学生对此类问题进行归纳总结。即平行四边形的存在性问题可能有三个定点也可能有两个定点，如果有三个定点则只需分别按一边为对角线进行分类讨论即可；当两个定点时，不管另外两个动点满足什么条件时，只需根据平行四边形的性质使两个动点和两个定点构成的线段分别为平行四边形的对边和对角线进行讨论即可。

2.6学以致用，解决背景问题。

3.案例反思

纵观整堂课的教学过程，尽管没有遵循传统的教学模式，但是得到了大量来自学生内部的第一手素材与信息，充分展示了学生提问、讨论、质疑、交流、归纳、延伸的思维活动的过程，从而使学生的知识结构被唤醒、数学思想被激活、创新意识被启迪，真正品尝到了成功的喜悦。建构主义学习观认为，知识并不是简单地传授，而是由学生依据自身已有的知识、经验、认知框架的不断变革或重组主动加以建构。因此，我们在教学中力求培养学生的自主学习意识，让学生有明确的学习目的，有一定的思维深度和广度等，提高课堂教学有效性。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订.初中数学课程标准（2011版）[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2]马秋霞.2014年中考数学专题复习课例题设计——图形的相似.中学数学教学参考[J].2014，3.

[3]孙树德.从习题的挖掘与引申谈学生思维品质的培养[J].中国数学教育，2014，3.

[4]韩敬.由一道中考题的多证引发的结论及应用[J].中国数学教育，2014，3.endprint

2.5归纳总结，拓展思维变式。

通过笔者的引导，师生对话、互动，所探究的问题犹如磁铁一般吸引着学生，带着强烈的好奇心，学生的自主探究便扬帆起航了。学生纷纷发表各自的想法，有的写在纸上。笔者不失时机地利用投影把他们的结果展示在屏幕上。顺利解答问题3后，再进行归纳总结，为下面的动点条件的变式的解决打好基础。

问题4：在问题3的基础上若点P在抛物线的对称轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标。

课堂提问是回答的同学已经很好地理解了其中的PM和AB平行且相等或PM和AB互相平分的关系，并且能正确选择思路进行运算得出结果，现在我们可以确定条件中只需给出两个定点，两个动点满足一定的关系即可，并且它们可能受到某个范围的限制，两个动点条件可随意转换。在此基础上追问问题5。

问题5：当P的条件不变，改变点M的条件，使点M在一条直线上，请确定这条直线的函数解析式，求点M的坐标。

请两位同学板演自己的解答过程后，要求学生对此类问题进行归纳总结。即平行四边形的存在性问题可能有三个定点也可能有两个定点，如果有三个定点则只需分别按一边为对角线进行分类讨论即可；当两个定点时，不管另外两个动点满足什么条件时，只需根据平行四边形的性质使两个动点和两个定点构成的线段分别为平行四边形的对边和对角线进行讨论即可。

2.6学以致用，解决背景问题。

3.案例反思

纵观整堂课的教学过程，尽管没有遵循传统的教学模式，但是得到了大量来自学生内部的第一手素材与信息，充分展示了学生提问、讨论、质疑、交流、归纳、延伸的思维活动的过程，从而使学生的知识结构被唤醒、数学思想被激活、创新意识被启迪，真正品尝到了成功的喜悦。建构主义学习观认为，知识并不是简单地传授，而是由学生依据自身已有的知识、经验、认知框架的不断变革或重组主动加以建构。因此，我们在教学中力求培养学生的自主学习意识，让学生有明确的学习目的，有一定的思维深度和广度等，提高课堂教学有效性。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订.初中数学课程标准（2011版）[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2]马秋霞.2014年中考数学专题复习课例题设计——图形的相似.中学数学教学参考[J].2014，3.

[3]孙树德.从习题的挖掘与引申谈学生思维品质的培养[J].中国数学教育，2014，3.

[4]韩敬.由一道中考题的多证引发的结论及应用[J].中国数学教育，2014，3.endprint