学生为什么“卡壳”了——《植树问题》教学片断与思考

赵斌华

《植树问题》是人教版实验教材四年级下册“数学广角”的内容，教材安排了三个例题：一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况、两端都不栽的情形，封闭曲线（方阵）中的植树问题。在一次余姚市教研室主办的校际联动教研活动中，三位老师分别对“植树问题”例1的内容进行了不同的演绎，有“小坡度式”只研究“两端都栽”一种情况的，也有“开放式”同时研究三种情况的，但在课堂的某些环节中，均有发现学生出现不同程度的“卡壳”现象，这是什么原因？是学生不理解还是没有掌握好呢？由此也引发了笔者以下的思考：

一、学生的学习起点在哪儿

“植树问题”在课改前是作为“培优”题让学有余力的学生进行训练的，新课标实施后，数学教材中增加了“数学广角”这一领域，目的是通过“数学广角”来进一步渗透数学学习的思想、方法，加强学生综合运用知识的能力，逐步提高解决问题的能力。在此之前，学生已经学会除法，对于平均分也已经有了感性的认识和理解，能为理解株距奠定较好的学习基础，同时也有了植树时树与树之间应该有间隔的生活经验。但对于数学意义上的间隔和间隔数，学生的认知却很浅。

【片断一】

师开门见山式揭示课题，引出例题：同学们在全长200米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共需要多少棵树苗？

生：200÷5=40（棵）。

师：还有不同的答案吗？

生“卡壳”，不知怎么回答。

师：有什么办法可以验证下？

在老师的引导下，化繁为简，先从20米开始研究。

师：你能通过画线段图的方式把它表示出来吗？

生画，师挑选作品并展示，只有“└┴┴┴┘”这一种情况而且部分学生没有完成。

师：还有不一样的答案吗？

生再次“卡壳”，摇摇头。

师只好给出自己的另两种植树情况：只种一端，两端都不种。

学生第一次“卡壳”，原因有二：一是这里的学生多数都是外来务工子女，相对于城区的孩子，基础肯定要差些，而且这些孩子在课外基本没接触过此类题型，所以答不出老师想要的加1、减1的答案；二是针对这一问题情境，缺少了一个“猜一猜”的环节，在学生看来，这样的问题解决式的答案是唯一的，用除法做也是顺理成章的，他们并没有意识到从题目出发，还需要考虑多种情况的。学生第二次“卡壳”，首先是因为原来就没考虑到植树的多种情况，所以也不太会在画图中体现出来；其次是这里的孩子没有画线段图的基础，他们在画的时候，还需要考虑总长、株距、比例尺等一系列因素，因此更加无暇去思考植树的不同情况了。

学生是数学学习的主人，教师作为学生学习的组织者、引导者和合作者，应该充分关注学生的学习起点，从学生出发。面对不同的学生，教师也应该相应地调整自己的教学起点，帮助学生架构生活经验和学习经验之间的桥梁，让学生更好地进入课堂。

二、学生的思维层次到哪儿

瑞士教育家裴斯泰洛齐说：“教学的主要任务不是积累知识，而是发展思维。”学生的思维能力主要是在他们获取知识的过程中、在知识的掌握过程中发展起来的。数学是思维的体操，可以锻炼学生的思维能力，使其不断地发展。而思维又是一种隐性的心理活动，只有在具体的活动或操作中得以显现。

【片断二】

师：通过刚才的探究活动，并观察这些算式，你发现了什么？

生：我发现每个算式都要+1。

生：我发现棵数都要比间隔数多1。

师：非常好！在植树问题两端都种的情况下，棵数=间隔数+1。

师：为什么要+1呢？

生：你看在图上，每一棵树都对着一个间隔，到最后还多出一棵树，所以棵数要比间隔数多1。

师：你说得真清楚！那下面这道植树问题，你们能解决吗？

出示教材P118“做一做”：园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？

师：谁来说一说？

生：36×6=216（米）。

师：还有不一样的想法吗？

生：（36+1）×6=222（米）。

师：还有吗？

生：（36-1）×6=210（米）。

师：你们同意哪一种算法？

只有少数学生同意最后一种算法，很明显，学生“卡壳”了。

教师也觉得困惑了，刚才明明已经把“+1”的难点解决了呀，而且学生都能说得很清楚了，为什么换一种角度，学生就“卡”住了呢？所以说，在课堂上，并不是教师的教学到哪儿，学生的思维也已经跟到那儿了。在教师的带领下，学生能够步步紧跟着，但当教师一放手，学生就会回到自己的思维起点，对于没有完全理解的内容，就会出现“卡壳”现象了。

因此，在课堂中，教师应该时刻关注学生的思维层次，充分暴露学生的思维，关注学生思维的障碍点，理清学生的思维脉络。当学生遇到思维障碍时，教师需要适时地加以疏导、点拨，可以先“扶一扶”，然后再逐步过渡、“由扶到放”，努力做到与学生的思维同步，从而真正促进学生思维的发展。

三、学生的模型建构去哪儿

从数学角度讲，数学建模是舍去无关紧要的东西，保留其数学关系，形成数学结构。而植树问题在日常生活中会经常遇到，如路旁植树、插彩旗、花坛种花、安路灯、锯木头、上楼梯等都可以归结为“植树问题”，因此非常有必要帮助学生建立解决这一类问题的数学模型。

【片断三】

师：今天这节课我们研究了植树问题（只研究了两端都种），也知道了棵数和间隔数之间的关系。生活中也有许多这样的例子，你能举一个吗？

生：路灯。

师：你能说一说分别把什么看作“棵数”、“间隔”和“间隔数”吗？

生：路灯的盏数相当于“棵数”，路灯之间的距离相当于“间隔”，有几个这样的间隔就是“间隔数”。

师：说得非常好！

生：老师，我还有！你看，我们教师里一排排的座位，人是“间隔”，桌子是“树”。

生：应该是人是“树”，桌子是“间隔”吧？

生：人是“树”的话，前面没人了？

生：那人是“间隔”的话，后面没桌子了？

生争论着，“卡壳”了。

其实很简单，这就是植树问题中只种一端的情况，无论人是“间隔”还是桌子是“间隔”都是一一对应的，也就是不用+1的情况，“棵数=间隔数”的植树类型。因为学生头脑中的模型只有“两端都种”这一种，想到的关系式也只有“棵数=间隔数+1”，所以就一时转不过弯了。

数学知识不是单一的，它应该具有整体性、连贯性，数学结构也应是呈网络状的。心理学研究表明，整块成片的知识网比零碎的知识点更容易让人纳入自己的原有认知体系。所以，个人认为，在一开始呈现植树问题时，应该给学生一个整体的结构，即三种类型都要呈现，从知识的生成原理来看，这更有利于学生的建模。这样相当于先给了学生一个框架，然后本节课重点来研究其中一种，让学生走向分支，再在分支中建立相应的解决问题的模型结构，当学生遇到“岔路”时，能够回到原有的整体框架，去寻找其他“分支”，从而真正达到完整的模型建构。这样以后再遇到“锯木头”、“敲钟”和“方阵问题”等也都能选择正确的植树问题的模型结构来应对解决了。

课堂是一门遗憾的艺术，如果没有了学生的这些“卡壳”现象，也就没有了更深入的思考。只有通过不断地反思，总结教学的得失与成败，在反思中改进，在反思中提高，才能不断丰富自身素养，提升自我发展能力，逐步完善教学艺术。