例谈数学思维水平的提高策略

李水波

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）18-0090-02

思维水平是一个人的思维过程、思维方式、思维品质、思维结果等不同层次的反映。由数学教学实践得知，中学生的思维水平存在着很大的差异，集中表现在解题和对概念的理解上，对一些数学题有些学生解得很巧，有些学生解得很繁；有的同学遇到题目很快抓住问题的实质，有的则百思不得其解；有的学生对概念的学习只停留在字面上，有的对概念的学习能够再发展。这些问题的出现虽然有种种原因，却直接反映了一个人的整体思维水平的高低。提高学生思维水平是数学教学的着力点，我在实践中主要采取了以下几个可操作的教学策略。

一、激活问题与解法策略

通过激活问题，可以把原来题目的一潭死水变得波涛汹涌，从而激发学生把问题想得广而深，激活解法的核心是一题多解，而一题多解的目的并不在于“多解”，而在于思维的“多层次”，在于让学生从多解中分析出解法的优劣，获得思维水平高的解法。

例1 等差数列中{an}，a1>0，a1+a2+…+an=Sn，若S3=S15，求n，使Sn最大。

解法1：（41%学生用此法）由S3=S15，即3a1+3d=15a1+105d，得a1=-，（a1>0，故d<0）代入Sn得Sn=，所以，当n=9时Sn最大。

解法2：（20%学生用）由a1>0， S3=S15，知数列{an}为递减数列，从而把求Sn的最大值问题转化为当an≥0，an+1时Sn最大。

解法3：（15%学生用）从S3=S15，得a4+…+a15=0，∴a9+a10=0，故a9>0，a10<0。不需要对Sn或解不等式an≥0，an+1<0，就可得出结论，思维更加简洁，运算也更加简捷。

解法4：（11%学生用）设Sn=An2+Bn，结合S3=S15，得B=-18A，故Sn=A（n2-18n），该法抓住了Sn表达式的本质，不考虑A=，B=a1-这些非本质的东西，从而运算量减少了许多。

解法5：（9%学生用）Sn对应的图像是过原点的抛物线及a1=S1>0，从而确定抛物线开口向下，结合图形，直观显示了本题的全部信息，解法十分简捷。

从这些解法可看出，问题认识得越深刻，解法就越简捷。

二、最近发展区策略

数学思维水平的提高，需要以具体的数学知识为基础，其发展过程中沿着创造最近发展区的轨道前进，教师的工作就是带领学生从现有的发展水平出发，通过逐步训练达到可能达到的新的发展水平。

如在《任意角的三角函数》一章的学习中，逐步引导学生从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数，从定义出发利用终边上点的坐标表示三角函数，从坐标出发自主探究三角函数的符号及同角的不同三角函数的基本关系、诱导公式；从正弦函数及图像、性质出发，类比学习余弦函数，在学习三角函数y=Asin（€%rx+€%o）的单调性、值域、对称性、周期性等性质时，利用换元法，转化为正弦函数y=sinx来解决。融会贯通后，只要学好正弦、余弦函数即可学好三角函数一章。这样的学习法，对学生自主学习其他定义、概念也非常有效，学习更轻松。学生在经历再发现、再创造的同时，对概念、原理的认识从孤立走向系统，把未知化为已知，从现有的发展水平达到新的发展水平。

三、重视数学思想教学策略

重视数学思想方法的教学是提高思维水平的重要一环，因为数学思想本身就是对数学的本质认识，而高层次数学思维同样是抓住数学问题的本质，所以只有在教学中不断地引导学生提炼数学基本思想，才能高层建瓴，不断提高数学思维水平。

比如：从《复数》一章提炼出“复数是二元数”的基本认识，点明了复数的本质。它对于运用复数工具解决平面几何、平面三角、平面解析几何等二维空间内的有关问题找到了依据，而且对复数知识的学习和认识，再也不感到神秘和不可捉摸了。

又如：“方程是已知量与未知量对立的统一体，是从已知探索未知的桥梁”。具备了这种认识，便容易树立方程的思想，每当需要求一个（或几个）未知量时，会很自然地采用列方程（组）的办法予以解决。

对于二次函数y=ax2+bx+c要抓二次项系数及顶点坐标，依二次项系数可对二次函数进行定性分析，依顶点坐标可对二次函数进行定量分析；对于指数函数和对数函数要抓底；求曲线的方程即寻找曲线上动点的坐标x与y的等量关系；解二元二次方程组的方法是消元降次；排列组合要先抓特殊元素及特殊位置。

正确的数学基本认识，有助学生理解和记忆，也可帮助学生抓住事物的本质，它是数学思想方法的基础，也是运用数学思想方法解决问题的“指向标”。

四、反思学习策略

变得有意义及易于反思是水平提高的手段。反思学习策略是一个把教学的终点变为新的思考起点的策略。在教学中，教师要引导学生对各个学习环节进行全面的反思，反思对每个环节所涉及知识的认识是否达到了所要求的程度，包括对知识本质属性把握的程度，这些知识与认识结构中相关方面建立联系的程度，对知识的各种表达形式掌握的程度；通过新知识的学习，对原有知识是否有了新的认识，原有的认识有什么欠缺，这种欠缺是如何造成的。例如，可引导学生通过“反思型数学日记”，逐步形成反思——检查——计划——补救——再反思的学习习惯。

例2 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像与直线y=25有公共点，且不等式f（x）>0的解是2

解析：由f（x）>0的解是2

反思：①一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系怎样？（一元二次方程的解就是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式就是研究一元二次函数在定义域内的正负区间。）

②可以把方程、不等式等内容都统一到函数思想下进行研究，解方程就是求函数的零点，解不等式就是求函数的正负区间。这样的反思能使掌握知识的层次更具深度和广度，思维更深刻。

综上所述，教学中思维能力训练与教材内容有机结合，定能有效提高学生的思维水平，这既是中学数学教学的最终目标，也是时代赋予教师的历史使命。

（责任编辑 刘 馨）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）18-0090-02

思维水平是一个人的思维过程、思维方式、思维品质、思维结果等不同层次的反映。由数学教学实践得知，中学生的思维水平存在着很大的差异，集中表现在解题和对概念的理解上，对一些数学题有些学生解得很巧，有些学生解得很繁；有的同学遇到题目很快抓住问题的实质，有的则百思不得其解；有的学生对概念的学习只停留在字面上，有的对概念的学习能够再发展。这些问题的出现虽然有种种原因，却直接反映了一个人的整体思维水平的高低。提高学生思维水平是数学教学的着力点，我在实践中主要采取了以下几个可操作的教学策略。

一、激活问题与解法策略

通过激活问题，可以把原来题目的一潭死水变得波涛汹涌，从而激发学生把问题想得广而深，激活解法的核心是一题多解，而一题多解的目的并不在于“多解”，而在于思维的“多层次”，在于让学生从多解中分析出解法的优劣，获得思维水平高的解法。

例1 等差数列中{an}，a1>0，a1+a2+…+an=Sn，若S3=S15，求n，使Sn最大。

解法1：（41%学生用此法）由S3=S15，即3a1+3d=15a1+105d，得a1=-，（a1>0，故d<0）代入Sn得Sn=，所以，当n=9时Sn最大。

解法2：（20%学生用）由a1>0， S3=S15，知数列{an}为递减数列，从而把求Sn的最大值问题转化为当an≥0，an+1时Sn最大。

解法3：（15%学生用）从S3=S15，得a4+…+a15=0，∴a9+a10=0，故a9>0，a10<0。不需要对Sn或解不等式an≥0，an+1<0，就可得出结论，思维更加简洁，运算也更加简捷。

解法4：（11%学生用）设Sn=An2+Bn，结合S3=S15，得B=-18A，故Sn=A（n2-18n），该法抓住了Sn表达式的本质，不考虑A=，B=a1-这些非本质的东西，从而运算量减少了许多。

解法5：（9%学生用）Sn对应的图像是过原点的抛物线及a1=S1>0，从而确定抛物线开口向下，结合图形，直观显示了本题的全部信息，解法十分简捷。

从这些解法可看出，问题认识得越深刻，解法就越简捷。

二、最近发展区策略

数学思维水平的提高，需要以具体的数学知识为基础，其发展过程中沿着创造最近发展区的轨道前进，教师的工作就是带领学生从现有的发展水平出发，通过逐步训练达到可能达到的新的发展水平。

如在《任意角的三角函数》一章的学习中，逐步引导学生从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数，从定义出发利用终边上点的坐标表示三角函数，从坐标出发自主探究三角函数的符号及同角的不同三角函数的基本关系、诱导公式；从正弦函数及图像、性质出发，类比学习余弦函数，在学习三角函数y=Asin（€%rx+€%o）的单调性、值域、对称性、周期性等性质时，利用换元法，转化为正弦函数y=sinx来解决。融会贯通后，只要学好正弦、余弦函数即可学好三角函数一章。这样的学习法，对学生自主学习其他定义、概念也非常有效，学习更轻松。学生在经历再发现、再创造的同时，对概念、原理的认识从孤立走向系统，把未知化为已知，从现有的发展水平达到新的发展水平。

三、重视数学思想教学策略

重视数学思想方法的教学是提高思维水平的重要一环，因为数学思想本身就是对数学的本质认识，而高层次数学思维同样是抓住数学问题的本质，所以只有在教学中不断地引导学生提炼数学基本思想，才能高层建瓴，不断提高数学思维水平。

比如：从《复数》一章提炼出“复数是二元数”的基本认识，点明了复数的本质。它对于运用复数工具解决平面几何、平面三角、平面解析几何等二维空间内的有关问题找到了依据，而且对复数知识的学习和认识，再也不感到神秘和不可捉摸了。

又如：“方程是已知量与未知量对立的统一体，是从已知探索未知的桥梁”。具备了这种认识，便容易树立方程的思想，每当需要求一个（或几个）未知量时，会很自然地采用列方程（组）的办法予以解决。

对于二次函数y=ax2+bx+c要抓二次项系数及顶点坐标，依二次项系数可对二次函数进行定性分析，依顶点坐标可对二次函数进行定量分析；对于指数函数和对数函数要抓底；求曲线的方程即寻找曲线上动点的坐标x与y的等量关系；解二元二次方程组的方法是消元降次；排列组合要先抓特殊元素及特殊位置。

正确的数学基本认识，有助学生理解和记忆，也可帮助学生抓住事物的本质，它是数学思想方法的基础，也是运用数学思想方法解决问题的“指向标”。

四、反思学习策略

变得有意义及易于反思是水平提高的手段。反思学习策略是一个把教学的终点变为新的思考起点的策略。在教学中，教师要引导学生对各个学习环节进行全面的反思，反思对每个环节所涉及知识的认识是否达到了所要求的程度，包括对知识本质属性把握的程度，这些知识与认识结构中相关方面建立联系的程度，对知识的各种表达形式掌握的程度；通过新知识的学习，对原有知识是否有了新的认识，原有的认识有什么欠缺，这种欠缺是如何造成的。例如，可引导学生通过“反思型数学日记”，逐步形成反思——检查——计划——补救——再反思的学习习惯。

例2 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像与直线y=25有公共点，且不等式f（x）>0的解是2

解析：由f（x）>0的解是2

反思：①一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系怎样？（一元二次方程的解就是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式就是研究一元二次函数在定义域内的正负区间。）

②可以把方程、不等式等内容都统一到函数思想下进行研究，解方程就是求函数的零点，解不等式就是求函数的正负区间。这样的反思能使掌握知识的层次更具深度和广度，思维更深刻。

综上所述，教学中思维能力训练与教材内容有机结合，定能有效提高学生的思维水平，这既是中学数学教学的最终目标，也是时代赋予教师的历史使命。

（责任编辑 刘 馨）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）18-0090-02

思维水平是一个人的思维过程、思维方式、思维品质、思维结果等不同层次的反映。由数学教学实践得知，中学生的思维水平存在着很大的差异，集中表现在解题和对概念的理解上，对一些数学题有些学生解得很巧，有些学生解得很繁；有的同学遇到题目很快抓住问题的实质，有的则百思不得其解；有的学生对概念的学习只停留在字面上，有的对概念的学习能够再发展。这些问题的出现虽然有种种原因，却直接反映了一个人的整体思维水平的高低。提高学生思维水平是数学教学的着力点，我在实践中主要采取了以下几个可操作的教学策略。

一、激活问题与解法策略

通过激活问题，可以把原来题目的一潭死水变得波涛汹涌，从而激发学生把问题想得广而深，激活解法的核心是一题多解，而一题多解的目的并不在于“多解”，而在于思维的“多层次”，在于让学生从多解中分析出解法的优劣，获得思维水平高的解法。

例1 等差数列中{an}，a1>0，a1+a2+…+an=Sn，若S3=S15，求n，使Sn最大。

解法1：（41%学生用此法）由S3=S15，即3a1+3d=15a1+105d，得a1=-，（a1>0，故d<0）代入Sn得Sn=，所以，当n=9时Sn最大。

解法2：（20%学生用）由a1>0， S3=S15，知数列{an}为递减数列，从而把求Sn的最大值问题转化为当an≥0，an+1时Sn最大。

解法3：（15%学生用）从S3=S15，得a4+…+a15=0，∴a9+a10=0，故a9>0，a10<0。不需要对Sn或解不等式an≥0，an+1<0，就可得出结论，思维更加简洁，运算也更加简捷。

解法4：（11%学生用）设Sn=An2+Bn，结合S3=S15，得B=-18A，故Sn=A（n2-18n），该法抓住了Sn表达式的本质，不考虑A=，B=a1-这些非本质的东西，从而运算量减少了许多。

解法5：（9%学生用）Sn对应的图像是过原点的抛物线及a1=S1>0，从而确定抛物线开口向下，结合图形，直观显示了本题的全部信息，解法十分简捷。

从这些解法可看出，问题认识得越深刻，解法就越简捷。

二、最近发展区策略

数学思维水平的提高，需要以具体的数学知识为基础，其发展过程中沿着创造最近发展区的轨道前进，教师的工作就是带领学生从现有的发展水平出发，通过逐步训练达到可能达到的新的发展水平。

如在《任意角的三角函数》一章的学习中，逐步引导学生从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数，从定义出发利用终边上点的坐标表示三角函数，从坐标出发自主探究三角函数的符号及同角的不同三角函数的基本关系、诱导公式；从正弦函数及图像、性质出发，类比学习余弦函数，在学习三角函数y=Asin（€%rx+€%o）的单调性、值域、对称性、周期性等性质时，利用换元法，转化为正弦函数y=sinx来解决。融会贯通后，只要学好正弦、余弦函数即可学好三角函数一章。这样的学习法，对学生自主学习其他定义、概念也非常有效，学习更轻松。学生在经历再发现、再创造的同时，对概念、原理的认识从孤立走向系统，把未知化为已知，从现有的发展水平达到新的发展水平。

三、重视数学思想教学策略

重视数学思想方法的教学是提高思维水平的重要一环，因为数学思想本身就是对数学的本质认识，而高层次数学思维同样是抓住数学问题的本质，所以只有在教学中不断地引导学生提炼数学基本思想，才能高层建瓴，不断提高数学思维水平。

比如：从《复数》一章提炼出“复数是二元数”的基本认识，点明了复数的本质。它对于运用复数工具解决平面几何、平面三角、平面解析几何等二维空间内的有关问题找到了依据，而且对复数知识的学习和认识，再也不感到神秘和不可捉摸了。

又如：“方程是已知量与未知量对立的统一体，是从已知探索未知的桥梁”。具备了这种认识，便容易树立方程的思想，每当需要求一个（或几个）未知量时，会很自然地采用列方程（组）的办法予以解决。

对于二次函数y=ax2+bx+c要抓二次项系数及顶点坐标，依二次项系数可对二次函数进行定性分析，依顶点坐标可对二次函数进行定量分析；对于指数函数和对数函数要抓底；求曲线的方程即寻找曲线上动点的坐标x与y的等量关系；解二元二次方程组的方法是消元降次；排列组合要先抓特殊元素及特殊位置。

正确的数学基本认识，有助学生理解和记忆，也可帮助学生抓住事物的本质，它是数学思想方法的基础，也是运用数学思想方法解决问题的“指向标”。

四、反思学习策略

变得有意义及易于反思是水平提高的手段。反思学习策略是一个把教学的终点变为新的思考起点的策略。在教学中，教师要引导学生对各个学习环节进行全面的反思，反思对每个环节所涉及知识的认识是否达到了所要求的程度，包括对知识本质属性把握的程度，这些知识与认识结构中相关方面建立联系的程度，对知识的各种表达形式掌握的程度；通过新知识的学习，对原有知识是否有了新的认识，原有的认识有什么欠缺，这种欠缺是如何造成的。例如，可引导学生通过“反思型数学日记”，逐步形成反思——检查——计划——补救——再反思的学习习惯。

例2 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像与直线y=25有公共点，且不等式f（x）>0的解是2

解析：由f（x）>0的解是2

反思：①一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系怎样？（一元二次方程的解就是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式就是研究一元二次函数在定义域内的正负区间。）

②可以把方程、不等式等内容都统一到函数思想下进行研究，解方程就是求函数的零点，解不等式就是求函数的正负区间。这样的反思能使掌握知识的层次更具深度和广度，思维更深刻。

综上所述，教学中思维能力训练与教材内容有机结合，定能有效提高学生的思维水平，这既是中学数学教学的最终目标，也是时代赋予教师的历史使命。

（责任编辑 刘 馨）