分类思想在数学中的运用

作者简介：闵文佳（1991.7－），男,苗族，籍贯：贵州省锦屏县，学历：本科，单位：凯里学院数学科学学院，研究方向：数学与应用数学。

摘要：数学的思想方法是学习数学中的一个重要的环节，严密敏捷的思维逻辑以及数学思想方法的学习对学生有着巨大的帮助。而分类思想则是数学当中重要的解题思想，能够帮助学生进行有效的归纳与总结，将所学的知识条理化，提升学生思维的概括性。本文通过对分类思想的意义的分析，结合分类思想的原则，最后探讨了分类思想在教学当中渗透与运用的方法。

关键词：分类思想;数学;运用

数学思想与方法贯穿于整个数学学习的过程，而分类思想则是其中一个重要的思想，利用分类讨论的方法，可以化繁为简，能够有效促进学生的探究能力与数学思维。数学思想的渗透是一个长期的过程，要让学生良好的掌握需要在教学当中不断引导与渗透，本文则具体针对分类思想在数学教学中的应用进行探讨。

一、分类思想运用的重要性

数学的思想方法是学习数学中的一个重要的环节，严密敏捷的思维逻辑以及数学思想方法的学习对学生有着巨大的帮助。而分类思想就是指按照一定的标准、根据对象的本质属性，将其分成几种不同的类型，并进行逐一的分析与综合而得出结论。分类思想在数学当中应用非常广泛，是四大基本思想之一，

分类思想是重要的解题思想，同时也是重要的解题对策，其能够帮助学生进行有效的归纳与总结，将所学的知识条理化，提升学生思维的概括性。分类思想不同于一般知识，不是几节课就能够让学生掌握，而是根据学生的特征，在学习的各个阶段不断渗透与丰富，在解数学题的过程当中，由于被研究对象的属性的不同，导致研究问题的结果受到影响，因此需要对不同的对象进行分类的研究，利用分类讨论的方法，往往能够化繁为简，增加条件，使问题更易于解决。

二、分类思想的原则

分类的思想根据本质属性异同点与相同点进行分类，分类的原则需要遵循标准的统一、分类对象的确定。在不重复与不遗漏的情况下，对研究学习过程中所遇到的问题进行有主次的划分。分类思想贯穿于数学教学当中。具体来讲，数学教学当中分类的应用可以总结为以下几种方式：涉及到数学概念是分类定义；运用数学上的定理、公式以及运算法则、运算性质，则分类给出；数学中的参数变量值由不同的取值得到不同的结果，利用分类能够简化问题；求解的数学问题具有多种可能与多种情况。分类的原则主要为以下几点。

统一性原则，分类需要按照统一的标准进行，不能适用几个不同的标准与根据；互斥性原则，分类的每一个子项应当做到互相排斥，也就是互斥性，各个子项分类之后不能让一些事物属于一个以上的子项；相称性原则，分类需要相称，划分后的子项的并集需要同母项相同；层次性原则，分类可以具体划分为一次分类与多次分类，一次分类将研究的对象分为一次，而多次分类则是将一次分类的子项作为母项继续分类，直到达到要求为止，由于一些研究对象较为复杂，因而利用二次分类方法能够更为细致的划分。

三、分类思想在教学中的渗透

在教学当中，需要注重向学生灌输分类思想的应用，让学生了解到分类思想的本质，提升运用的能力。应当从以下几个方面进行教学，促进学生能够对分类思想进行主动运用，提升综合素质与能力。

1. 渗透分类的思想

学生在日常的生活与学习当中都会接触到分类的知识与思想，例如人群的分类、学科的分类等，在教学当中需要对学生进行积极的引导，将分类理论知识迁移到数学学习当中。例如学习有理数的概念，可以让学生对有理数进行分类，掌握有理数的不同分类方法，按分母不同，有理数能够分为分数与整数；按性质符号可以分为正数、0以及负数。再如讲解绝对值时，可以分类为 ，若 a>O，则lal=a，若 a<0 ，则lal= -a，若 a=0 ，则lal=0。让学生初步掌握分类的方法。

2. 学习分类方法

所谓分类就是要将对象按照适当的标准进行划分，对每一类问题逐一解答。数学分类方法多种多样，教师需要针对性的进行教学，常用的分类方法主要有利用数学概念的分类、数学法则的分类以及性质或者特殊规定的分类、根据图形的特征进行分类、按照几何图形的点与线的位置进行分类等，在教学中通过不同的例子让学生逐一掌握，认识到分类思想对于解题的重要性。例如证明圆周角定理，圆心的位置处在角的内部、外部以及边上三种不同的情况，因此可以分为三种不同的情况进行证明，先证明最容易解决的：圆心的位置在圆周角的一条边上“，然后利用此证明来解决圆心在圆周角的外部与内部的另外两种情况。

再如下例：

题目：设00且a≠1，比较|log (1－x)|与|log (1＋x)|的大小。

［分析］ 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。

［解］ ∵ 01

① 当00，log (1＋x)<0，所以

|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝log (1－x)－［－log (1＋x)］＝log (1－x )>0;

② 当a>1时，log (1－x)<0，log (1＋x)>0，所以

|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝－log (1－x) －log (1＋x)＝－log (1－x )>0；

由①、②可知，|log (1－x)|>|log (1＋x)|

由以上例子可以看出，利用分类进行讨论体现出了化整为零以及归类整理的方法，进行数学问题的解答时，更具逻辑性与概括性。

3. 引导分类讨论

中学课本当中有许多定理、公式、法则等，都需要进行分类讨论，因而在教学当中应当注重对学生的引导，强化学生的分类讨论意识，一些知识点不进行分类讨论，则非常容易出现错误。并且分类方法通过概括与总结，能够让学生总结出规律性的东西，提升学生思维的缜密性与条理性，从而提高解题的能力。

例如以下例子：函数y=x6-x5+x4-x3+x2-x+l，求证:Y的值恒为正数。分析可发现如果将y进行分解因式索然能够得出结论，但较为复杂，因而可以利用分类思想将变量x进行分类讨论，问题就会容易许多：

证明:(1)当x<0时∴x5-x3-x>0，y>1恒成立;

(2)当0

∵ x4>x5， x2>x3，1>x∴y>0成立;

(3)当x=1时，y=1>0成立;

（4）当x>1时

y= （x6-x5)+（x4-x3）+（x2-x) +1

∵x6>x5， x4>x3，x2>x∴ y>1成立

综上可知，y>0成立。

由以上的例子不难看出，分类思想的应用往往能够使复杂的问题变得更为简单，利用分类思想解題思路变得更为清晰。

四、结束语

数学思想与方法是解决数学问题的最基本的策略，是数学学习的本质所在，数学思想方法能够充分引导学生掌握与领域，提升思维的水平。总而言之，在教学的过程当中，应当利用现有的教材，对学生进行积极的引导，帮助学生掌握分类思想的方法，并将其同其他的数学方法充分的结合，锻炼启发学生的数学思维，从而提升学生的综合素质与能力。

参考文献：

［1］董志明.分类思想在数学教学中的渗透［J］.考试周刊，2013,07.

［2］沈国平.分类讨论思想在数学教学中的应用［J］.语数外学习，2013,05.

［3］徐利治.数学实验的学习环境和教学方法［J］.河北教育，2010,01.