平行四边形”中的数学思想方法

曹利民

数学思想被称为数学的灵魂，也是学习和解决数学问题的指南. 学习平行四边形知识，也应重视数学思想方法的应用. 现将常见的数学思想方法举例如下.

一、 方程思想

在解决平行四边形有关问题时，通过设未知数，列出方程（组），可使问题的解决变得简捷方便.

例1 如图1，已知：▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长大8，且AB∶AD=3∶2，求▱ABCD的周长.

【分析】要求▱ABCD的周长，只要求出AB、AD的长，为此设AB=3x，AD=2x，再根据三角形周长的意义及平行四边形对角线互相平分，可得AB-AD=8，从而列出方程，求出x的值，再求出AB、AD的长，就可以求出平行四边形的周长.

解：设AB=3x，AD=2x.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，OB=OD.

∵△AOB的周长比△AOD的周长大8，

∴（AO+OB+AB）-（AO+OD+AD）=8.

∴AB-AD=8，即3x-2x=8，∴AB=3x=24，AD=2x=16，∴▱ABCD周长=AB+BC+CD

+AD=2（AB+AD）=80.

【点评】当题目中有比值条件时，常设未知数构造方程解决问题.

二、 转化思想

在解决四边形有关问题时，常利用转化思想，通过作辅助线，把四边形转化为三角形，把一般四边形转化为特殊四边形等.

例2 如图2，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，求AD的长.

【分析】要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠A和∠B的关系可以判定AD∥BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得以解决.

解：过点C作CE∥AB交AD于E，

∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴AE=BC=8，CE=AB=6，∠BCE=∠A=120°. 又∵∠BCD=150°，∴∠DCE=30°，

而∠D=360°-120°-60°-150°=30°，

∴∠D=∠DCE=30°，∴DE=CE，

∴AD=AE+DE=8+6=14.

【点评】本题通过作辅助线，把四边形转化为一个平行四边形和一个等腰三角形.

例3 如图3，在△ABC中，AB=6，AC=4. AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是______.

【分析】要确定AD的取值范围，联想到三角形三边关系，但又不能把AB、AC和AD放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三边关系，由AD是中线联想到延长中线，得到平行四边形，得AB=CE，将已知量与未知量集中到三角形中来求解.

解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE. ∵BD=CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴CE=AB=6，在△ACE中，6-4

【点评】当题中有三角形的中线时，常常延长中线，构造平行四边形，这种作辅助线的方法在解题中经常用到，要注意掌握.

三、 面积思想

在解决线段之间的关系问题时，面积法是常用的数学思想方法.

例4 如图4，已知▱ABCD的周长是36 cm，由顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且DE=4 cm、DF

=5 cm，求这个平行四边形的面积.

【分析】求这个平行四边形的面积，只要求出一条边即可，由题意可得AB+BC=18 cm，再由面积公式可得，DE·AB=DF·BC，即4AB=5BC，利用上述两个等式求出AB或BC，就可以求出▱ABCD的面积.

解：设AB=x cm，BC=y cm.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

又∵▱ABCD的周长为36 cm，

∴2x+2y=36.①

又∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴S▱ABCD=AB·DE=BC·DF，∴4x=5y. ②

解由①、②组成的方程组得，x=10，y=8，∴S▱ABCD=AB·DE=10×4=40（cm2）.

【点评】在三角形和平行四边形中，常运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不同，但面积是定值.

例5 如图5，已知矩形ABCD，AB=3，AD=4，P是AB上不与A、D重合的动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为（）.

A. 2 B. C. D. 3

【分析】连接PO，利用面积公式进行解题：S△APO=AO·PE，S△DPO=OD·PF.

在Rt△ABC中，AC==5，则AO=DO=，∴S△APO+S△DPO=AO·PE

+OD·PF= （PE+PF），即S△AOD=（PE

+PF），而S△AOD=S矩形ABCD=×3×4=3.

则有（PE+PF）=3，所以PE+PF=.

【解答】C.

【点评】本题求两线段的和，由于P是动点，不能求出两线段的具体长度，利用面积思想，使问题巧妙求解.

（作者单位：江苏省常熟市大义中学）

数学思想被称为数学的灵魂，也是学习和解决数学问题的指南. 学习平行四边形知识，也应重视数学思想方法的应用. 现将常见的数学思想方法举例如下.

一、 方程思想

在解决平行四边形有关问题时，通过设未知数，列出方程（组），可使问题的解决变得简捷方便.

例1 如图1，已知：▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长大8，且AB∶AD=3∶2，求▱ABCD的周长.

【分析】要求▱ABCD的周长，只要求出AB、AD的长，为此设AB=3x，AD=2x，再根据三角形周长的意义及平行四边形对角线互相平分，可得AB-AD=8，从而列出方程，求出x的值，再求出AB、AD的长，就可以求出平行四边形的周长.

解：设AB=3x，AD=2x.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，OB=OD.

∵△AOB的周长比△AOD的周长大8，

∴（AO+OB+AB）-（AO+OD+AD）=8.

∴AB-AD=8，即3x-2x=8，∴AB=3x=24，AD=2x=16，∴▱ABCD周长=AB+BC+CD

+AD=2（AB+AD）=80.

【点评】当题目中有比值条件时，常设未知数构造方程解决问题.

二、 转化思想

在解决四边形有关问题时，常利用转化思想，通过作辅助线，把四边形转化为三角形，把一般四边形转化为特殊四边形等.

例2 如图2，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，求AD的长.

【分析】要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠A和∠B的关系可以判定AD∥BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得以解决.

解：过点C作CE∥AB交AD于E，

∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴AE=BC=8，CE=AB=6，∠BCE=∠A=120°. 又∵∠BCD=150°，∴∠DCE=30°，

而∠D=360°-120°-60°-150°=30°，

∴∠D=∠DCE=30°，∴DE=CE，

∴AD=AE+DE=8+6=14.

【点评】本题通过作辅助线，把四边形转化为一个平行四边形和一个等腰三角形.

例3 如图3，在△ABC中，AB=6，AC=4. AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是______.

【分析】要确定AD的取值范围，联想到三角形三边关系，但又不能把AB、AC和AD放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三边关系，由AD是中线联想到延长中线，得到平行四边形，得AB=CE，将已知量与未知量集中到三角形中来求解.

解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE. ∵BD=CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴CE=AB=6，在△ACE中，6-4

【点评】当题中有三角形的中线时，常常延长中线，构造平行四边形，这种作辅助线的方法在解题中经常用到，要注意掌握.

三、 面积思想

在解决线段之间的关系问题时，面积法是常用的数学思想方法.

例4 如图4，已知▱ABCD的周长是36 cm，由顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且DE=4 cm、DF

=5 cm，求这个平行四边形的面积.

【分析】求这个平行四边形的面积，只要求出一条边即可，由题意可得AB+BC=18 cm，再由面积公式可得，DE·AB=DF·BC，即4AB=5BC，利用上述两个等式求出AB或BC，就可以求出▱ABCD的面积.

解：设AB=x cm，BC=y cm.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

又∵▱ABCD的周长为36 cm，

∴2x+2y=36.①

又∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴S▱ABCD=AB·DE=BC·DF，∴4x=5y. ②

解由①、②组成的方程组得，x=10，y=8，∴S▱ABCD=AB·DE=10×4=40（cm2）.

【点评】在三角形和平行四边形中，常运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不同，但面积是定值.

例5 如图5，已知矩形ABCD，AB=3，AD=4，P是AB上不与A、D重合的动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为（）.

A. 2 B. C. D. 3

【分析】连接PO，利用面积公式进行解题：S△APO=AO·PE，S△DPO=OD·PF.

在Rt△ABC中，AC==5，则AO=DO=，∴S△APO+S△DPO=AO·PE

+OD·PF= （PE+PF），即S△AOD=（PE

+PF），而S△AOD=S矩形ABCD=×3×4=3.

则有（PE+PF）=3，所以PE+PF=.

【解答】C.

【点评】本题求两线段的和，由于P是动点，不能求出两线段的具体长度，利用面积思想，使问题巧妙求解.

（作者单位：江苏省常熟市大义中学）

数学思想被称为数学的灵魂，也是学习和解决数学问题的指南. 学习平行四边形知识，也应重视数学思想方法的应用. 现将常见的数学思想方法举例如下.

一、 方程思想

在解决平行四边形有关问题时，通过设未知数，列出方程（组），可使问题的解决变得简捷方便.

例1 如图1，已知：▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长大8，且AB∶AD=3∶2，求▱ABCD的周长.

【分析】要求▱ABCD的周长，只要求出AB、AD的长，为此设AB=3x，AD=2x，再根据三角形周长的意义及平行四边形对角线互相平分，可得AB-AD=8，从而列出方程，求出x的值，再求出AB、AD的长，就可以求出平行四边形的周长.

解：设AB=3x，AD=2x.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，OB=OD.

∵△AOB的周长比△AOD的周长大8，

∴（AO+OB+AB）-（AO+OD+AD）=8.

∴AB-AD=8，即3x-2x=8，∴AB=3x=24，AD=2x=16，∴▱ABCD周长=AB+BC+CD

+AD=2（AB+AD）=80.

【点评】当题目中有比值条件时，常设未知数构造方程解决问题.

二、 转化思想

在解决四边形有关问题时，常利用转化思想，通过作辅助线，把四边形转化为三角形，把一般四边形转化为特殊四边形等.

例2 如图2，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，求AD的长.

【分析】要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠A和∠B的关系可以判定AD∥BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得以解决.

解：过点C作CE∥AB交AD于E，

∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴AE=BC=8，CE=AB=6，∠BCE=∠A=120°. 又∵∠BCD=150°，∴∠DCE=30°，

而∠D=360°-120°-60°-150°=30°，

∴∠D=∠DCE=30°，∴DE=CE，

∴AD=AE+DE=8+6=14.

【点评】本题通过作辅助线，把四边形转化为一个平行四边形和一个等腰三角形.

例3 如图3，在△ABC中，AB=6，AC=4. AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是______.

【分析】要确定AD的取值范围，联想到三角形三边关系，但又不能把AB、AC和AD放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三边关系，由AD是中线联想到延长中线，得到平行四边形，得AB=CE，将已知量与未知量集中到三角形中来求解.

解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE. ∵BD=CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴CE=AB=6，在△ACE中，6-4

【点评】当题中有三角形的中线时，常常延长中线，构造平行四边形，这种作辅助线的方法在解题中经常用到，要注意掌握.

三、 面积思想

在解决线段之间的关系问题时，面积法是常用的数学思想方法.

例4 如图4，已知▱ABCD的周长是36 cm，由顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且DE=4 cm、DF

=5 cm，求这个平行四边形的面积.

【分析】求这个平行四边形的面积，只要求出一条边即可，由题意可得AB+BC=18 cm，再由面积公式可得，DE·AB=DF·BC，即4AB=5BC，利用上述两个等式求出AB或BC，就可以求出▱ABCD的面积.

解：设AB=x cm，BC=y cm.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

又∵▱ABCD的周长为36 cm，

∴2x+2y=36.①

又∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴S▱ABCD=AB·DE=BC·DF，∴4x=5y. ②

解由①、②组成的方程组得，x=10，y=8，∴S▱ABCD=AB·DE=10×4=40（cm2）.

【点评】在三角形和平行四边形中，常运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不同，但面积是定值.

例5 如图5，已知矩形ABCD，AB=3，AD=4，P是AB上不与A、D重合的动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为（）.

A. 2 B. C. D. 3

【分析】连接PO，利用面积公式进行解题：S△APO=AO·PE，S△DPO=OD·PF.

在Rt△ABC中，AC==5，则AO=DO=，∴S△APO+S△DPO=AO·PE

+OD·PF= （PE+PF），即S△AOD=（PE

+PF），而S△AOD=S矩形ABCD=×3×4=3.

则有（PE+PF）=3，所以PE+PF=.

【解答】C.

【点评】本题求两线段的和，由于P是动点，不能求出两线段的具体长度，利用面积思想，使问题巧妙求解.

（作者单位：江苏省常熟市大义中学）