《数学归纳法》第一课时教学设计

张立军

教材分析：

本节课是人教A版4—5第四讲第一节数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法证明一些与正整数有关的实际问题。它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是促进学生从有限思维发展到无限思维，并培养学生严密的推理能力和抽象思维能力的重要载体。

学情分析：

由于此前数列和推理与证明两部分的学习，使学生对归纳推理有了一定的认知。

教学目标：

知识与技能目标：

1.了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，认清“奠基”和“递推”两者缺一不可。

2.体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的命题。

过程与方法目标：

1.亲身感悟数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其由无限问题化为有限问题这一转化的数学思想。

2.精心创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。

情感态度与价值观目标：

1.通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和数学思维品质。

2.认识有限与无限的辩证关系。

教学重点：

数学归纳法产生过程的分析及其适用范围，掌握数学归纳法证题的基本步骤。

教学难点：

认识数学归纳法的证明思路，对数学归纳法中递推思想的理解。

教具准备：

传统板书与多媒体辅助教学相结合。

教学过程：

一、情景设置

问题1：通过计算下面的式子，你能猜想出-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）的结果吗？证明你的结论。

-1+3=

-1+3-5=

-1+3-5+7=

-1+3-5+7-9=

问题2：多米诺骨牌是怎样全部倒下的？

二、探究新知

问题1中，要证明等式在n为正整数时都成立，虽然可以验证n=1，2，3，4……甚至10000000时等式（★）成立，但是正整数有无限多个，我们无法对它们一一验证，所以，通过验证是无法完成证明的。

下面我们先来看看多米诺骨牌的视频（多媒体播放视频材料），讨论问题2 。

如果不推倒起始的第一张骨牌，而从其后的第二张或某一张开始推倒，那么其前面的骨牌会倒吗？如果因为抽去中间的某一张或某一张牌摆放不标准等原因，使得此处前一张骨牌倒下后不能碰倒下一张，那么骨牌会全部倒下吗？显然，以上的情况都不能使得全部骨牌倒下，可见让所有的多米诺骨牌全部倒下，应具备如下条件：

条件一：第一张骨牌倒下。

条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。

其中条件一是前提、是基础，条件二是持续递推的保障，二者缺一不可。

通过以上合作交流，师生共同探究得到解决问题的方法：第一块骨牌倒下相当于证明当n=1时，等式（★）成立；对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当n=k时，等式（★）成立，推出当n= k+1时等式（★）也成立。可以建立一种像多米诺骨牌那样的“由前到后”的递推关系，即由n=1时等式（★）成立为起点，递推出n=2时等式（★）成立；再由n=2时等式（★）成立，递推出n=3时等式（★）成立……依次自动递推下去，就可以说，对于任意正整数n，等式（★）成立。

按照上述思路可具体证明等式（★）成立。

证明：⑴当n=1时，式（★）⑴左右两边都等于-1，即这时等式（★）成立。

⑵假设当n=k（k≥1）时等式（★）成立，即

-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）=（-1）kk

当n= k+1时，左边=-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）+（-1）k+1［2（k+1）-1］

=（-1）kk+（-1）k+1［2（k+1）-1］

=（-1）k+1［-k+2（k+1）-1］

=（-1）k+1（k+1）=右边

所以当n= k+1时等式（★）成立。

由⑴⑵可知，-1+3-5+…+（-1）n （2n-1）=（-1）n n(n∈N+)

三、明确概念

（板书）“数学归纳法”

一般地，证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0 (n0∈N+) 时命题成立。

（2）（归纳递推）假设n= k (k∈N+,且k≥n0) 时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立。

只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述方法叫做数学归纳法。

应用数学归纳法要注意以下几点：

（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的。

（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法。

（3）n0不一定取1，也可取其它一些正整数，n0是使命题成立的最小正整数。

（4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。

四、巩固应用

用数学归纳法证明:

（1）12+22+...+n2= （n∈N+）

（2）当n为正整数时，1+3+5+…+(2n-1)=n2

五、回顾总结

1.本节课学到了什么？

2.这些知识是怎样得出的？

3.你有什么体会与感悟？

（责任编辑 史玉英）

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