思维从概念出发

张清华

如今，思维能力培养已经成了数学课程标准的核心目标，很多教师和家长都希望通过奥数培训、疯狂练题培养孩子的逻辑思维能力，这其实是错误的。

如何培养儿童的思维能力呢？

思维是心智，既是脑的活动，又是心的愉悦。发展学生的思维就要回到孩子的内心，回到数学最基础的地方，为思维培植土壤和种子。

概念是数学的基础，概念是思维的种子。学生学好了概念知识，思维会自动被激发引导。

首先，教师要在教学中引入概念，激活学生思维。一年级的孩子懵懵懂懂，还不知道思维是什么，但学习概念能诱导他们愉悦、大胆地思考。当我们把概念恰当地植入学生的头脑后，一旦出现与概念有关的问题，学生的思维就会立即启动，他们就会愉悦地思索、探究。

一年级的第一课是《数一数》，第二课是《比一比》，虽然教材未提“一一对应”的说法，但这些内容都在用一一对应的思想，可以说“一一对应”的概念已呼之欲出。上课时，教师展示可爱的图示（如下图），来引导学生理解一一对应的方法。

<＼＼U01＼本地磁盘 （e）＼骆秋清＼教育教学＼2014-7＼33.jpg>

<＼＼U01＼本地磁盘 （e）＼骆秋清＼教育教学＼2014-7＼33.jpg>

对照图片，学生可以发现，当两样东西同样多时，左右两端完全对齐；当两样东西不同样多时，只能一端对齐。学生了解了“一一对应”的概念后，教师再进一步引导。

教师可设计比较题启发学生思考。如，把两支铅笔（花铅笔长，红铅笔短）的一端握在手中，暴露在手外的是花铅笔短，红铅笔长。当教师问“这两支铅笔哪支长，哪支短”时，绝大多数学生观察到的是“花铅笔短，红铅笔长”，但也有同学质疑没有看到铅笔对齐的样子。教师捂住了铅笔的一端，但捂不住学生的思维，因为“一一对应”的概念已长在孩子的心里。当教师拿开手时，学生们的思维就喷薄而出，不能阻挡！

数学概念是数学思维发展的结果，我们及时地引用合适的概念，是对数学成果的运用，能帮助学生逐步养成用数学的方法思考问题的习惯。

其二，教师要强化概念的直观表征，用实践具化思维图像。概念是抽象的，教师教学概念时若仅仅是单一讲解，概念就只会停留在学生大脑的表层。亚里士多德说：“心灵没有意象就永远不可能思考。”教师必须引入意象，触动学生心灵，这样，概念才可能和思维互动。

教学周长时，教师通过看、量、算等多种活动让学生理解周长的概念，学生似乎也学会了关于周长的知识，但实际上学生并没有准确理解周长的概念，更不会在实践中运用。

如，下图的长方形分成两个部分，左下部分是甲图，右上部分是乙图，请问哪个部分的周长更长？

[甲][乙]

学生一致认为甲的周长要长，因为看起来甲的面积比乙大得多。显然，直观的“面积”图形先入为主，影响了学生的思维，学生忽视了“周长是封闭图形一周的长度”这个抽象的概念。

教师发现，周长的直观表征在学生内部强化得不够，决定再次强化：请用两种颜色的彩笔将图中两部分的周长分别描一遍，然后大家一起讨论。学生在描周长时，一边思考，一边讨论。经过思考，学生们发现，分出来的两个图形，都有长方形的长和宽，分界线是弯线，是公有的，一条弯线会有两个长度吗？原来，周长与两部分的大小无关……这是直观表征刺激大脑发出的声音，是思维火花的跳跃。

同样的，学生在学面积概念和体积概念时，教师除了帮学生建立它们的语言文字表征外，还要通过“摸一摸桌面有多大，1立方米能站下多少个孩子”等实践活动，帮学生建立概念的直观表征，这样才能发展学生的空间观念，培养他们的几何直观能力。

其三，教师要提炼概念的语言文字表征，使思维简洁、准确、理性。数学概念是对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，大多数概念都需要用语言文字来定义，教师教学时仅靠反复出现情境，难以达到“数学”的效果。我们需要借用适度的语言文字表征，使思维简洁、准确、理性。

例如，教学人教版二年级上学期《角的初步认识》一课时，教师发现，教材是通过几张固定的图片（如张开的剪刀，弯曲的吸管等）抽象出几个固定的图形（∠），让学生感知角有一个顶点、两条边；教材要求学生动手操作活动角及用纸折角，让学生感知“不同的角，开口不同”。

教材中没有说明什么是角的大小，就在练习中出现了比角的大小的题：下面的两个角，哪个角大？哪个角小？用三角板上的角比比看。

是比边，还是比开口？因为学生的年龄小，他们所见到的角，两边都有长短；再者，活动角的两条边的长短也是固定的，所以用活动角也不能强化角的大小与边的长短无关。

因为没有清晰的概念，有的学生比边，还有的学生比“面积”，如此教学就干扰了学生的认知生成，影响了学生的学习情绪。概念的模糊，使学生在后续学习中也常常出错。在学直角时，很多学生认为教室里的黑板上的直角比三角板上的直角大。

这时，教师要引入角的定义语言——“一点引出两条射线所组成的图形叫做角”，把角的两边定义成射线，射线就无需比长短。这隐含着一个事实：角不研究边的长短，是为研究开口而引入的。

我们虽然不能把角的数学定义直接教给学生，但我们却应该用学生能够接受的语言及时地描述角的本质属性：这样的有开口的图形就是角；角的大小就是开口的大小。

新课标指出：“重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则。”所以，根据学生的年龄特征，对于概念的语言文字表征，我们不必要求学生一步到位，不同的阶段应有不同的要求，但不能没有要求。

其四，教师要建立多元表征概念，沟通概念之间的联系，让思维自由地延伸。概念需要直观表征，因为有时“只可意会不可言传”；概念需要语言表征，因为语言具有确定性，只用单一的方式表征概念，概念就很死板，思维就很僵化。我们用多种感官参与概念的形成过程，从而用多种方式表征概念，就能更深刻地揭示概念的本质，从而沟通概念之间的联系，思维因联系而延伸。

例如，教学“三角形的面积”一课，教师为每个学生准备了同样的学具袋。每个学具袋中都装有两个不一样的锐角三角形，还有一个钝角三角形和一个直角三角形。教师要学生采用拼的方法，思考用什么样的三角形才能拼成一个平行四边形。试来试去，学生发现必须向同学借一个与自己学具袋里任意一个三角形完全一样的三角形才能拼成平行四边形。学生在借、拼、思中与同学交流合作，动手、动脑、动口。“用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形”在学生的脑子里形成了丰满的表象：可以借锐角三角形来拼，或是借钝角三角形来拼，或是借直角三角形来拼。多种表征方式使学生深刻地理解了三角形的面积公式，积累了数学活动经验，发展了思维能力，更是沟通了此类问题的联系：用转化的数学思想思考问题。

学生的思维一步步提升，这是以概念作起点长出来的智慧。概念是思维的起点，思维从概念出发。问题不同，思维相通。思想通了，学习还会那么烦、那么累吗？