具有非倍测度的参数型Marcinkiewicz积分算子及交换子的有界性

逯光辉,周 疆

(新疆大学数学与系统科学学院,新疆 乌鲁木齐 830046)

1 预备知识

设μ是定义在d上的正Radon测度且满足下面的增长条件: 对于所有的x∈d,r>0,都有

μ(B(x,r))≤C0rn,

(1)

其中:C0,n是正数且 00,满足μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r)),则称μ是倍测度.

近年来,关于Calderón-Zygmund算子和函数空间的许多经典结果在测度为仅满足式(1)的Radon测度时被证明仍然成立. 详见文献[1-6]. 本文主要讨论参数型Marcinkiewicz 积分以及交换子在广义Morrey空间的有界性.

设方体Q⊂d,Q是闭的且平行于坐标轴,用表示其中心,l表示其边长,并且记Q(μ)为所有满足μ(Q)>0的全体方体. 设α>1,β>αn,如果μ(αQ)≤βμ(Q),称Q为(α,β)倍方体. 这里αQ表示与Q同心且边长为l(αQ)=αl(Q)的方体. 若α与β无特别说明,所有的倍方体均为(2,2d+1)-倍方体.

其中:NQ,R是使得l(2kQ)≥l(R)成立的最小正整数k. 有关KQ,R的性质详见文献[7].

设K(x,y)是定义在d×d{(x,y):x=y}上的局部可积函数且满足下列条件:存在常数C>0,使得对所有的x,y∈d且x≠y有

|K(x,y)|≤C|x-y|-(n-1),

(2)

以及对任意的x,y,y′∈d,有

(3)

定义关于上述K(x,y)的参数型Marcinkiewicz积分算子为

d,ρ>0.

(4)

设函数b∈RBMO(μ),定义相应的参数型Marcinkiewicz积分交换子为

d,ρ>0.

(5)

Hu,Lin和Yang[4]引入了一类比式(3)更强的Hörmander条件

(6)

基于此,得到了由Marcinkiewicz积分算子M和RBMO(μ)函数生成的Marcinkiewicz交换子M(f)在Lp(μ)空间中的有界性.

定义1 设k>1,1≤p<∞,φ:(0,+∞)→(0,+∞)是一个增函数. 定义广义Morrey空间Lp,φ(k,μ)为

其中f在广义Morrey空间上的Lp,φ(n,μ)的范数为

引理1 设k1>k2>1,1≤p<∞,φ:(0,+∞)→(0,+∞) 是一个增函数,则存在一个仅以k1,k2,d有关的常数Ck1,k2,d,使得

需要说明的是,Lp,φ(k1,μ)与Lp,φ(k2,μ)的范数是等价的.

2 Mρ(f)在广义Morrey空间中的有界性

引理2 设1

‖Mρ(f)‖Lp(μ)≤C‖f‖Lp(μ).

引理3 设φ:(0,+∞)→(0,+∞)的函数且满足对所有的r>0有

定理1 设1

(7)

(8)

(9)

则存在常数C,使得

‖Mρ(f)‖Lp,φ(μ)≤C‖(f)‖Lp,φ(μ).

证明对任意固定的Q∈Q(μ)及f∈Lp,φ(μ),将f分解为f=f1+f2,其中f1=fχ2Q. 于是有

Ⅰ1+Ⅰ2.

首先估计Ⅰ1,由引理 2,有

那么对Ⅰ2,有

由Hölder不等式以及式(1),(7)和(9),有

最后来估计Ⅱ2,根据引理 3,有

于是由式(7)得

结合Ⅰ1和Ⅰ2估计,完成了定理 1的证明.

定义2 设ν>1,b∈Lloc(μ). 如果存在常数C>0,使得对于任意中心在supp(μ)中的方体Q,有

则称b∈RBMO(μ). 其中Q′表示形如2kQ(k∈ N)的最小倍方体,mQ′(b)表示b在方体Q′上的平均,即

称满足上述条件的最小常数C为b的RBMO(μ)范数,简记为‖b‖*.

Tolsa[7]指出RBMO(μ)的定义与参数ν>1的选取无关,并且满足下面的引理.

引理4 若1≤p<∞,1≤ν<∞,则b∈RBMO(μ)当且仅当存在C>0,使得当Q∈d时,有

对于任意2个倍方体Q⊂R,有|mQ(b)-mR(b)|≤KQ,R‖b‖*. 当方体Q,R可以比较时,KQ,R是有界的.

证明对任意固定的Q∈Q(μ)及f∈Lp,φ(μ),将f分解为f=f1+f2,其中f1=fχ2Q.则有

Ⅲ1+Ⅲ2.

首先估计Ⅲ1,由引理 5,有

Ⅲ1≤C‖b‖*‖(f)‖Lp,φ(μ).

对于Ⅲ2,有

类似于定理 1的证明,对Ⅲ21,得

对于Ⅳ1,

最后来估计Ⅳ2,

于是由引理 4和条件(7)得

C‖b‖*‖f‖Lp,φ(μ).

结合Ⅲ1和Ⅲ2的估计,完成了定理 2的证明.

参考文献:

[1] Deng Donggao,Han Yongsheng,Yang Dachun. Besov spaces with non-doubling measure[J]. Transactions of the American Mathematical Society,2006,358(7): 2965-3001.

[2] Tolsa X. Littlewood-Paley theory and the T(1)theorem with non-doubling measures[J]. Advances in Mathematics,2001,164(1): 57-116.

[3] Hu Guoen,Meng Yan,Yang Dachun. New atmoic characterization ofH1space with non-doubling measures and its applications[J].Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,2005,138(1): 151-171.

[4] Hu Guoen,Lin Haibo,Yang Dachun. Marcinkiewicz integrals with non-doubling measures[J]. Integral Equations and Opertor Theory,2007,58(2): 205-238.

[5] 陈冬香,吴丽丽.具有非倍测度的Marcinkiewicz积分交换子在Morrey空间的有界性[J].数学物理学报,2011,31A(4): 1105-1114.

[6] Hu Guoen,Lin Haibo,Yang Dachun. Multilinear commutators of singular integrals with non-doubling measures[J]. Integr Equ Oper Theory,2005,52(2): 235-255.

[7] Tolsa X.BMO,H1,and Calderón-Zygmund operators for non-doubling measures[J]. Math Ann,2001,319(1): 89-149.

[8] Stein E M. On the functions of Littlewood-Paley,Lusin,and Marcinkiewicz[J]. Trans Am Math,1958,88(2): 430-466.

[9] Sawano Y. Generalized Morrey spaces for non-doubling measures[J]. Nonlinear Differential Equations and Applications,2008,15(4):414-425.

[10] 李亮,江寅生.非齐型空间中一类满足Hörmander条件的Marcinkiewicz交换子估计[J].数学学报,2010,53A(1): 87-96.

[11] 叶晓峰,王蒙,胡媛媛.Marcinkiewicz算子及交换子在非齐型空间上的有界性[J]. 华东交通大学学报,2013,30(5): 87-91.