一类(n,m)-半群

宋本贤,朱用文,李 晶

(烟台大学数学与信息科学学院,山东 烟台 264005)

1 引言及预备知识

半群理论在过去的半个多世纪得到了很大的发展,人们对半群的概念也作了很大的推广.半群的概念首先由普通二元半群推广到三元半群,而后又推广到n元半群,见文献[1-9],现在更是发展到(n,m)-半群这种更为复杂的情形,见文献[10,11].文献[10]将普通二元半群上的Green 引理及Green定理推广到(n,m)-半群,给出了(n,m)-半群中元素正则的定义,并刻画了其基本性质,给出了i-可逆的概念,并给出了一些i-可逆的充分必要条件. 但是,由于(n,m)-半群自身的复杂性,有关普通二元半群的一些重要概念和结论不一定都能够很好的平行的推广到(n,m)-半群. 该文将正则半群、逆半群、纯正半群的概念推广到(n,m)-半群上,得到了正则(n,m)-半群、逆(n,m)-半群、纯正(n,m)-半群的概念. 并就Δ=n-m=1这一类相对特殊的半群作了深入研究,得出了较好的结果,分别给出了逆(n,n-1)-半群,纯正(n,n-1)-半群的充分必要条件.

该文的结构如下: 第2节主要给出了(n,n-1)-半群的Green定理,见定理1; 在第3节中,主要刻画了(n,n-1)-半群中逆和幂等元在正则D-类中的关系及正则(n,n-1)-半群的基本性质,见定理2及命题2; 第4节给出了(n,n-1)-半群是逆(n,n-1)-半群的充分必要条件,见定理3,命题3给出了逆(n,n-1)-半群中元素的一些性质; 第5节的主要结论是定理4,它给出了(n,n-1)-半群是纯正(n,n-1)-半群的充分必要条件. 在本节的剩余部分介绍一些与(n,m)-半群相关的概念.

假设S是一个非空集合,n,m是两个正整数(n>m),并且

[]:(x1,x2,…,xn)|→[x1x2…xn]

则称(S,[]) 是一个(n,m)-半群,见文献[4]. 在不至于混淆的情况下,为了方便我们用S代替(S,[]).

假设a,b∈Sm. 如果存在x1,x2∈S+使得[ax1]=b,[bx2]=a,则称a和b有右关系,记作aR b. 类似地,如果存在y1,y2∈S+使得[y1a]=b,[y2b]=a,则称a和b有左关系,记作aLb. 用H表示左关系L和R的交. 用D表示左关系L和R的结合. 如果存在x,y,u,v∈S+使得[xay]=b,[ubv]=a,则称a和b有J关系,记作aJ b. 对于每个a∈ Sm,用La [Ra,Ha,Da] 分别表示包含a的L-类[R-类,H-类,D-类],见文献[10].

定义1 假设S 是一个(n,m)-半群,a∈Sm. 若存在b∈Sm使得[(ab)Δa]=a,则称a是正则的.

该文中正则的定义和文献[10]中略有不同,文献[10]要求b∈S+. 实际上,若存在b∈S+使得[(ab)Δa]=a.令b′=[(ba)Δb],则b′∈Sm,且[(ab′)Δa]=a.因此,文献[10]中对正则的定义更具一般性.

定义2[10]假设S是一个(n,m)-半群,e∈Sm.若[eΔ+1]=e,则称e为幂幺元.

定义3 假设S是一个(n,m)-半群,a∈Sm. 若存在a′∈Sm使得 [(aa′)Δa]=a,[(a′a)Δa′]=a′,则称a′是a的一个逆.a可能有多个逆,用V(a) 表示由a的逆组成的集合.

2 (n,n-1)-半群上的Green定理

文献[10]给出了一般(n,m)-半群上的Green定理. 但是由于(n,m)-半群自身的复杂性,包含幂幺元e的H-类并不一定能够构成一个群,因此文献[10] 给出的(n,m)-半群上的Green定理没有普通二元半群上的Green定理的结论强. 该文就Δ=n-m=1 这一类比较特殊的(n,m)-半群作了深入研究,得到较好的结论. 由文献[10]中的引理2.5 可以直接得到下面引理.

引理1 假设S 是一个(n,n-1)-半群,a,b∈ Sn-1,若[ab]∈Ha,则ρb|Ha是Ha 到其自身的双射. 若[ba]∈Ha,则λb |Ha是Ha到其自身的双射.

引理2 假设S 是一个(n,n-1)-半群,则幂等元e∈Sn-1是Re的左单位元,Le的右单位元.

定理1 假设S是一个(n,n-1)-半群,H⊆Sn-1是一个H-类,则[H2]∩H=∅或者[H2]=H,并且H 是一个(二元)群.

证明假设[H2]∩H≠∅,则存在a,b∈H 使得[ab]∈H.由引理1得,ρb和λa是H 到其自身的双射. 因此对每一个h∈H 有[hb]∈H 和[ah]∈H. 再由引理1得ρh和λh是H到其自身的双射. 因此,对每一个h∈H 有[Hh]=[hH]=H,即[H2]=H. 因此,H是一个(二元)群. 证毕.

推论1 假设S 是一个(n,n-1)-半群,e∈Sn-1是一个幂等元,则He是一个(二元)群. 一个H-类至多包含一个幂等元.

3 (n,n-1)-半群中元素的逆及其基本性质

文献[1]定理Ⅱ.3.5给出了普通二元半群中正则D-类的一些基本性质,但是它对一般的(n,m)-半群并不成立,该文针对Δ=n-m=1这一类特殊的(n,m)-半群进行了深入研究,将文献[1]定理Ⅱ.3.5 等推广到(n,n-1)-半群,得到一些较好的结论. 首先给出正则(n,m)-半群的概念.

定义4 假设S 是一个(n,m)-半群,若对任意a∈Sm都是正则的,则称S 是一个正则(n,m)-半群.

引理3 假设S 是一个(n,n-1)-半群,D⊆Sn-1是一个正则D-类. 则D中的每一个L-类和每一个R-类至少包含一个幂等元.

将文献[1]中定理Ⅱ.3.5 推广到(n,n-1)-半群,于是得到下面定理.

定理2 假设S 是一个(n,n-1)-半群,D⊆Sn-1是一个正则D-类,且a∈D. 则

(1) 若a′是a的一个逆,则a′∈D 且Ra∩La′,La∩Ra′分别包含幂等元[aa′]和[a′a].

(2) 若b∈D 使得 Ra∩Lb,La∩Rb分别包含幂等元e,f,则Hb包含a的一个逆a*使得 [aa*]=e,[a*a]=f.

(3) 每个H -类中至多包含a的一个逆.

证明(1) 因为aR [aa′]且[aa′]L a′,所以(a,a′)∈R·L即a′∈D. 因为[aa′]∈Ra 且[aa′]∈La′,所以[aa′]∈Ra∩La′. 同理可证[a′a]∈La∩Ra′.

(2) 因为e∈Ra∩Lb,f∈La∩Rb,所以存在x,y∈D使得[ax]=e,[ya]=f. 因为e,y是幂等元,所以由引理2得[ea]=a,[af]=a.

令a*=[fxe],则

[(aa*)Δa]=[aa*a]=[afxea]=[axa]=[ea]=a,

[(a*a)Δa*]=[a*aa*]=[fxeafxe]=[fxe2]=[fxe]=a.

所以a*是a的一个逆. 且

[aa*]=[afxe]=[axe]=[e2]=e,

[a*a]=[fxea]=[fxa]=[yaxa]=[yea]=[ya]=f.

(3) 假设a′,a*∈Hb且都是a的逆,则[aa′],[aa*]都是幂等元,由推论1得 [aa′]=[aa*] 且[aa′],[aa*]∈Ra∩Lb.同理[a′a]=[a*a] 且[a′a]=[a*a] ∈La∩Rb. 因此a′=[(a′a)Δa′]=[(a′a)a′]=[(a*a) a′]=[(a*a) a*]=[(a*a)Δa*]=a*. 证毕.

命题1 假设S 是一个(n,n-1)-半群,e,f∈Sn-1是幂等元. 则(e,f)∈D当且仅当存在a 和a的一个逆a′,使得[aa′]=e,[a′a]=f.

证明⟹若(e,f) ∈D,则e,f在同一个正则D-类中. 任取Re∩Lf中的一个元a,由定理2(2) 得,存在a的一个逆a′∈Rf∩Le,再由定理2(1) 得,[aa′]=e,[a′a]=f.

⟸若存在一对互逆的元a,a′使得 [aa′]=e,[a′a]=f. 则由定理2(1) 得,eR a,aLf,因此,eD f,即(e,f)∈D. 证毕.

命题2 假设S是一个正则(n,n-1)-半群,a,b∈Sn-1. 则

(1) (a,b)∈L当且仅当存在a′∈V(a),b′∈ V(b) 使得 [a′a]=[b′b].

(2) (a,b)∈D当且仅当存在a′∈V(a),b′∈ V(b) 使得 [aa′]=[bb′].

(3) (a,b)∈H当且仅当存在a′∈V(a),b′∈ V(b) 使得 [a′a]=[b′b] 且[aa′]=[bb′].

证明(1)若(a,b)∈L,且a′∈V(a),则[a′a] ∈La=Lb是一个幂等元. 由引理3得,Rb至少包含一个幂等元e,再由定理2(2) 得,Ra′ a∩Le包含b的一个逆b′,使得[a′a]=[b′b].

反之,假设存在a′∈V(a),b′∈V(b) 使得[a′a]=[b′b]. 由定理2(1) 得,aL[a′a],[b′b] Lb. 故aLb,即(a,b)∈L. 同理可证 (2).

(3) (a,b)∈L,且a′∈V(a),则[a′a] ∈La=Lb,[aa′]∈Ra=Rb.由定理2(2) 得,Ra′a∩Laa′包含b的一个逆b′,使得[a′a]=[b′b].

反之,假设存在a′∈V(a),b′∈V(b),使得[a′a]=[b′b],且[aa′]=[bb′]. 则aLb,aRb,即aH b. 证毕.

4 逆(n,m)-半群及逆(n,n-1)-半群的基本性质

文献[1]定理Ⅴ.1.2给出来了普通二元半群是逆半群的充分必要条件,但是它对一般的(n,m)-半群并不成立,该文针对Δ=n-m=1这一类特殊的(n,m)-半群进行了深入研究,将文献[1]定理Ⅴ.1.2 推广到(n,n-1)-半群,得到逆(n,n-1)-半群的充分必要条件. 首先给出逆(n,m)-半群的概念.

定义5 假设S是一个(n,m)-半群.若对于每一个a∈Sm都有唯一的逆元,记作a-1,则称S是一个逆(n,m)-半群.

将文献[1]中定理Ⅴ.1.2推广到(n,n-1)-半群,于是得到下面定理.

定理3 假设S是一个(n,n-1)-半群,则下列陈述等价:

(1)S是一个可逆半群.

(2)S是正则的并且幂等元可交换.

(3)S的每一个L-类和每一个R-类包含唯一的幂等元.

证明(1)⟹(2) 假设e,f∈Sn-1是幂等元,令x=[ef]-1,则

[([ef]x)Δ[ef]]=[efxef]=[ef],

[(x[ef])Δx]=[xefx]=x,

[(fxe)Δ+1]=[(fxe)2]=[fxefxe]=[fxe].

因此,[fxe] 是一个幂等元.

[([ef][fxe])Δ[ef]]=[effxeef]=[efxef]=[ef],

[([fxe][ef])Δ[fxe]]=[fxeeffxe]=[fxefxe]=[fxe].

因此,[ef]是[fxe]的一个逆.又因为[fxe]是一个幂等元，它的逆是其本身，所以[ef]=[fxe],且[ef]是一个幂等元.同理可证， [fe]是一个幂等元.

[([ef][fe])Δ[ef]]=[effeef]=[efef]=[(ef)2]=[ef],

[([fe][ef])Δ[fe]]=[feeffe]=[fefe]=[(fe)2]=[fe].

因此,[fe] 是 [ef] 的一个逆,但是[ef] 是一个幂等元,它的唯一的逆是其本身.所以,[fe]=[ef],即幂等元可交换.

(2)⟹(3)假设S是正则的,则由引理3 每一个L-类至少包含一个幂等元,令e,f∈Sn-1是幂等元,且eLf,则由引理2得[ef]=e,[fe]=f. 由假设[ef]=[fe] 得e=f,即每一个L-类包含唯一的幂等元.同理可证每一个R-类包含唯一的幂等元.

(3)⟹(1) 由假设及引理3得,每一个D-类至少包含一个幂等元. 令a∈D,a′,a"是a的逆,则[aa′],[aa"] 是幂等元,且[aa′]R a,aR[aa"],因此[aa′]R[aa"]. 由假设知[aa′]=[aa"],同理

[a′ a]=[a"a]. 所以

a′=[(a′a)Δa′]=[a′aa′]=[a"aa′]=[a"aa"]=[(a"a)Δa"]=a".

因此a的逆是唯一的,即S是一个可逆半群. 证毕.

命题3 假设S是一个(n,n-1)-半群,E⊆Sn-1是幂等元集合,则

(1)(a-1)-1=a (∀a∈Sn-1).

(2)e-1=e (∀e∈E).

(3)[ab]-1=[b-1a-1] (∀a,b∈Sn-1).

(4)[aea-1],[a-1ea]∈E (∀a∈Sn-1,∀e∈E).

(5)(a,b)∈L当且仅当[a-1a]=[b-1b]; (a,b)∈L当且仅当[aa-1]=[bb-1].

(6)若e,f∈E,则eD f当且仅当存在a∈Sn-1,使得 [aa-1]=e,[a-1a]=f.

5 纯正(n,m)-半群及纯正(n,n-1)-半群的基本性质

文献[1]定理Ⅵ.1.1给出来了普通二元半群是纯正半群的充分必要条件,但是它对一般的(n,m)-半群并不成立,该文针对Δ=n-m=1这一类特殊的(n,m)-半群进行了深入研究,将文献[1]定理Ⅵ.1.1 推广到(n,n-1)-半群,得到纯正(n,n-1)-半群的充分必要条件. 首先给出纯正(n,m)-半群的概念.

定义6 假设S是一个(n,m)-半群,E是所有幂等元的集合,若任取e1,e2,…,eΔ+1∈E,有[e1e2…eΔ+1]∈E,则称S是一个纯正(n,m)-半群.

将文献[1]中定理Ⅵ.1.1 推广到(n,n-1)-半群,于是得到下面定理.

定理4 假设S是一个(n,n-1)-半群,则下列陈述等价:

(1)S是一个纯正半群.

(2) 对任意a,b∈Sn-1,若a′∈V(a),b′∈V(b),则有[b′a′] 是[ab]的一个逆.

(3) 若e是一个幂等元,则e的所有的逆都是幂等元.

证明(1)⟹(2) 假设S是一个(n,n-1)-半群,a,b∈Sn-1,a′,b′分别是a,b的逆,则 [a′a],[b′b] 是幂等元,因此由纯正的性质得[a′ab′b],[b′ba′a]是幂等元. 因此

[([ab][b′a′])Δ[ab]]=[abb′a′ab]=[aa′abb′a′abb′b]=

[a[a′abb′]2b]=[aa′abb′b]=[ab],

[([b′a′][ab])Δ[b′a′]]=

[b′a′abb′a′]=[b′bb′a′abb′a′aa′]=

[b′[bb′a′a]2a′]=[b′bb′a′aa′]=[b′a′].

即[b′a′] 是[ab] 的逆.

(2)⟹(3) 假设e∈Sn-1是幂等元,x是e的一个逆,则[xe],[ex]都是幂等元,且分别是自身的一个逆. 由假设得[[ex][xe]] 是[[xe][ex]]的一个逆,即[e[x2]e] 是[x[e2]x] 的一个逆,又因为[x[e2]x]=[xex]=x,即[e[x2]e] 是x的一个逆. 因此x=[(x[e[x2]e])Δx]=[xexxex]=[x2],即x是幂等元.

(3)⟹(1) 设e,f∈Sn-1都是幂等元,x是[ef]的一个逆,则

[([ef][fxe])Δ[ef]]=[effxeef]=[efxef]=[ef],

[([fxe][ef])Δ[fxe]]=[fxeeffxe]=[fxefxe]=[fxe].

因此,[ef] 是[fxe] 的一个逆. 又因为

[(fxe)2]=[fxefxe]=[fxe].

因此[fxe] 是一个幂等元,则[ef] 也是一个幂等元. 证毕.

参考文献:

[1] Howie J M. An Introduction to Semigroup Theory[M]. New York:Academic Press Inc,1976.

[2] 郭聿琦,宫春梅,任学明.关于半群上格林关系的一个来龙去脉的综述[J].山东大学学报:理学版,2010,45(8): 1-18.

[3] Pashazadeh J,Movsisyan Y M.A characterization of triple semigroup of ternary functions and Demorgan triple semigroup of ternary functions[J]. Bulletin of the Iranian Mathemtical Society,2011,37(1):29-41.

[5] Dudek W A. Idempotents inn-ary semigroups[J]. Southeast Asian Bulletin of Mathematics,2001,25(1): 97-104.

[6] Marichal J L,Mathonet P. A description ofn-ary semigroups polynomial-derived from integral domains[J]. Semigroup Forum,2011,83(2): 241-249.

[7] Couceiro M,Marichal J L. Aczéliann-ary semigroups[J]. Semigroup Forum,2012,85(1): 81-90.

[8] Zhu Yongwen. Generalized Cayley graphs of semigroups Ⅰ[J]. Semigroup Forum,2012,84(1): 131-143.

[9] Zhu Yongwen. Generalized Cayley graphs of semigroups Ⅱ[J]. Semigroup Forum,2012,84(1): 144-156.

[10] Zhu Yongwen. On (n,m)-semigroups[J]. Semigroup Forum,2012,84(2): 342-364.

[11] Stojmenovska I. On Varieties of (n,m)-semigroups[J].International Journal of Algebra,2012,6(15): 705-712.