谈正余弦定理应用中常涉及的数学思想

霍元山

〔关键词〕 数学教学；正弦定理；余弦定理；数学思想

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）12—009３—０1

正弦定理、余弦定理的应用极为广泛，它将三角形的边与角有机地联系起来，从而为解三角形、判断三角形形状、证明三角形边角关系提供了重要的依据.在运用正余弦定理解题时，往往涉及许多数学思想.

一、 化归与转化思想

化归与转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易.在解决三角形边角关系时经常用正弦定理、余弦定理进行边角关系的转化，进而化难为易.

例1在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别是a、b、c，求证：■=■.

分析：由于所求证的结论是三角形的边角关系，很自然地我们就会联想到用正余弦定理进行边角关系的转化.

证明：由正弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理，得■=■

由正弦定理，得■=■，■=■.

所以■=■=■，

故所求证的等式成立.

评注：本题在求解过程中，充分利用正弦定理、余弦定理进行边角之间的转化，从而使问题获得解决.

二、 分类与整合思想

分类与整合思想就是当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.当已知三角形两边和其中一边的对角时，常常用到分类与整合的思想.

例2在△ABC中，已知a=2■，b=2■，A=45°，求c，B，C.

分析：由于已知三角形两边a，b及一边的对角A，所以先用正弦定理求另一边的对角B（有两解），得到两种情况，在依角B的值进行分类求解.

解：由■=■，得sinB=■=■

=■.

∵bsinA﹤a﹤b.

∴这个三角形有两解.

∴B=60°或B=120°，∴C=75°或C=15°，

当B=60°，C=75°时，由■=■，得c=■

=■=■+■.

当B=120°，C=15°时，由■=■，得c=■

=■=■-■.

故c=■＋■，B=60°，C=75°或，c=■－■， B=120°，C=15°.

评注：本题在求解过程中按角B的大小进行了分类讨论.

三、 函数与方程的思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程的思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.

例3在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=■（tanAtanB-1），求△ABC的面积.

分析：用两角和的正切公式求出特殊角的函数值，再利用正弦定理、余弦定理列出方程组、通过解方程组求出三角形的边长，进而求得三角形的面积.

解：由tanA+tanB=■（tanAtanB-1），得■=tan（A+B）=-■，

∵A+B+C=180°，∴tan(A+B)=-tanC=-■，即tanC=■ .

∵0°﹤C﹤180°，∴C=60°，∴cosC=■.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，即c2= a2+b2-ab.

又∵a=4，b+c=5，以上三个方程组成方程组解得a=4，b=■，c=■. ∴S△ABC=absinC÷2=4×■×■÷2=■.

评注：本题在求解过程中，充分利用两角和的正切公式的变形，求出特殊角的函数值，然后利用余弦定理得到a，b，c之间的关系，再与已知条件联立组成方程组求出a，b，c，从而使问题获得解决.

编辑：谢颖丽

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〔关键词〕 数学教学；正弦定理；余弦定理；数学思想

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）12—009３—０1

正弦定理、余弦定理的应用极为广泛，它将三角形的边与角有机地联系起来，从而为解三角形、判断三角形形状、证明三角形边角关系提供了重要的依据.在运用正余弦定理解题时，往往涉及许多数学思想.

一、 化归与转化思想

化归与转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易.在解决三角形边角关系时经常用正弦定理、余弦定理进行边角关系的转化，进而化难为易.

例1在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别是a、b、c，求证：■=■.

分析：由于所求证的结论是三角形的边角关系，很自然地我们就会联想到用正余弦定理进行边角关系的转化.

证明：由正弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理，得■=■

由正弦定理，得■=■，■=■.

所以■=■=■，

故所求证的等式成立.

评注：本题在求解过程中，充分利用正弦定理、余弦定理进行边角之间的转化，从而使问题获得解决.

二、 分类与整合思想

分类与整合思想就是当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.当已知三角形两边和其中一边的对角时，常常用到分类与整合的思想.

例2在△ABC中，已知a=2■，b=2■，A=45°，求c，B，C.

分析：由于已知三角形两边a，b及一边的对角A，所以先用正弦定理求另一边的对角B（有两解），得到两种情况，在依角B的值进行分类求解.

解：由■=■，得sinB=■=■

=■.

∵bsinA﹤a﹤b.

∴这个三角形有两解.

∴B=60°或B=120°，∴C=75°或C=15°，

当B=60°，C=75°时，由■=■，得c=■

=■=■+■.

当B=120°，C=15°时，由■=■，得c=■

=■=■-■.

故c=■＋■，B=60°，C=75°或，c=■－■， B=120°，C=15°.

评注：本题在求解过程中按角B的大小进行了分类讨论.

三、 函数与方程的思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程的思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.

例3在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=■（tanAtanB-1），求△ABC的面积.

分析：用两角和的正切公式求出特殊角的函数值，再利用正弦定理、余弦定理列出方程组、通过解方程组求出三角形的边长，进而求得三角形的面积.

解：由tanA+tanB=■（tanAtanB-1），得■=tan（A+B）=-■，

∵A+B+C=180°，∴tan(A+B)=-tanC=-■，即tanC=■ .

∵0°﹤C﹤180°，∴C=60°，∴cosC=■.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，即c2= a2+b2-ab.

又∵a=4，b+c=5，以上三个方程组成方程组解得a=4，b=■，c=■. ∴S△ABC=absinC÷2=4×■×■÷2=■.

评注：本题在求解过程中，充分利用两角和的正切公式的变形，求出特殊角的函数值，然后利用余弦定理得到a，b，c之间的关系，再与已知条件联立组成方程组求出a，b，c，从而使问题获得解决.

编辑：谢颖丽

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〔关键词〕 数学教学；正弦定理；余弦定理；数学思想

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）12—009３—０1

正弦定理、余弦定理的应用极为广泛，它将三角形的边与角有机地联系起来，从而为解三角形、判断三角形形状、证明三角形边角关系提供了重要的依据.在运用正余弦定理解题时，往往涉及许多数学思想.

一、 化归与转化思想

化归与转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易.在解决三角形边角关系时经常用正弦定理、余弦定理进行边角关系的转化，进而化难为易.

例1在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别是a、b、c，求证：■=■.

分析：由于所求证的结论是三角形的边角关系，很自然地我们就会联想到用正余弦定理进行边角关系的转化.

证明：由正弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理，得■=■

由正弦定理，得■=■，■=■.

所以■=■=■，

故所求证的等式成立.

评注：本题在求解过程中，充分利用正弦定理、余弦定理进行边角之间的转化，从而使问题获得解决.

二、 分类与整合思想

分类与整合思想就是当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.当已知三角形两边和其中一边的对角时，常常用到分类与整合的思想.

例2在△ABC中，已知a=2■，b=2■，A=45°，求c，B，C.

分析：由于已知三角形两边a，b及一边的对角A，所以先用正弦定理求另一边的对角B（有两解），得到两种情况，在依角B的值进行分类求解.

解：由■=■，得sinB=■=■

=■.

∵bsinA﹤a﹤b.

∴这个三角形有两解.

∴B=60°或B=120°，∴C=75°或C=15°，

当B=60°，C=75°时，由■=■，得c=■

=■=■+■.

当B=120°，C=15°时，由■=■，得c=■

=■=■-■.

故c=■＋■，B=60°，C=75°或，c=■－■， B=120°，C=15°.

评注：本题在求解过程中按角B的大小进行了分类讨论.

三、 函数与方程的思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程的思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.

例3在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=■（tanAtanB-1），求△ABC的面积.

分析：用两角和的正切公式求出特殊角的函数值，再利用正弦定理、余弦定理列出方程组、通过解方程组求出三角形的边长，进而求得三角形的面积.

解：由tanA+tanB=■（tanAtanB-1），得■=tan（A+B）=-■，

∵A+B+C=180°，∴tan(A+B)=-tanC=-■，即tanC=■ .

∵0°﹤C﹤180°，∴C=60°，∴cosC=■.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，即c2= a2+b2-ab.

又∵a=4，b+c=5，以上三个方程组成方程组解得a=4，b=■，c=■. ∴S△ABC=absinC÷2=4×■×■÷2=■.

评注：本题在求解过程中，充分利用两角和的正切公式的变形，求出特殊角的函数值，然后利用余弦定理得到a，b，c之间的关系，再与已知条件联立组成方程组求出a，b，c，从而使问题获得解决.

编辑：谢颖丽

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