《幂函数》的教学设计与反思

张欢欢

课题：《幂函数》（高中数学人教A版必修一教材）

教学目标：

知识与技能：了解幂函数的概念，会画几个常见幂函数的图像，并能结合图像，简单了解其变化情况，概括函数性质.

过程与方法：通过作图并观察、总结幂函数的性质，培养学生的作图能力，观察、分析、归纳总结的能力，体会类比在研究问题中的作用，渗透数形结合的思想.

情感态度与价值观：通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感.

教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.

教学难点：将函数图像的感性认识上升到理性认识，归纳概括出函数的性质.

教学过程：

一、实例观察，问题引入

问题：

1.某人买了每千克1元的苹果，则其需付的钱数p（元）和购买的苹果的量（千克）w之间的有何关系？

2.正方形的面积S和它的边长之间有何关系？

3.正方体的边长V和它的边长之间有何关系？

4.问题2中，边长是S的函数吗？

5.某人在t秒内骑车行进了1千米，那么他骑车行进的平均速度v为多少？

全体学生： 这六个关系式（都是函数关系式）分别是

p=w，S=a■，V=a■，a=S■，v=t■

师：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特征吗？

这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y=x，y=x■，y=x■，y=x■，y=x■.

生：底数都是自变量，指数都是常数.

师补充：它们都是形如y=x■的函数，其中α为常数（投影幂函数的定义）.今天这节课，我们就来研究幂函数.

【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征，帮助学生明晰概念，引入课题.

二、类比联想，探究新知

1.幂函数的定义

一般地，我们把形如y=x■的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数.

【深化认知】判断下列函数哪几个是幂函数？

（1）y=3■；（2）y=x■；（3）y=2x■；（4）y=x■+1；（5）y=■

思考：幂函数与指数函数有什么联系和区别？

生：幂函数的底数是自变量，指数是常数；指数函数的指数是自变量，底数是常数.

【设计意图】加深对幂函数定义的理解，巩固概念，幂函数与指数函数的概念学生容易弄混，理解新知识的同时，巩固复习旧知识.

2.探究五个常见幂函数的图像与性质

师引导生回答：

有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？——研究幂函数的性质.

通过什么方式来研究？——画函数的图像.

为使作图高效，我们可先做点什么——分析函数的定义域、奇偶性、单调性.

【动手实践】请同学们画出下列五个常见幂函数的图像，并将你发现的结论填入表格.（1）y=x；（2）y=x■；（3）y=x■；（4）y=x■；（5）y=x■（投影显示表格）

师：由于前三个函数初中已经学习过，因此请三个同学到黑板上画出它们的图像并写出性质.全体同学小组间合作讨论，在同一直角坐标系中画出这五个函数的图像并完成表格.

全体学生小组讨论合作完成，同学之间对照修整.教师巡视学生完成情况，并发现学生所存在的问题并及时给予指导.

师：通过刚才同学们的动手实践发现y=x，y=x■，y=x■这三个函数的图像与性质基本上没问题，都能完成好.而y=x■，y=x■这两个函数大家就感觉陌生，下面我们就重点研究y=x■的函数图像和性质，为了作图的高效，我们先根据这个函数的解析式研究它的性质，然后根据性质并结合描点法作出相应的图像.

师提问：哪位同学能说出y=x■的定义域、值域、奇偶性及单调性？

生1：先将y=x■写成y=■的形式，然后易知定义域和值域都是[0，+∞），由此可以知道它的定义域不具有对称性，所以它是非奇非偶函数.又因为y是随x的增大而增大的，所以它是增函数.

师：回答得很好，掌声鼓励！但是生1只是依据定义简单地判断出它是一个增函数，那么你能不能证明f（x）=■在[0，+∞）上是增函数？

学生回顾单调性证明的一般步骤并相互讨论，教师巡堂指导，生2上黑板板书证明过程.师生一起指出生2的证明过程中所出现的问题并订正.

证明：任取x■，x■∈[0，+∞），且x■

f（x■）-f（x■）=■-■=■=■

因为0≤x■

即幂函数f（x）=■在[0，+∞）上的增函数.

教师强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习用定义证明单调性的过程.（2） 幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用定义法进行证明.（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断■-■<0，而此函数则是利用分子有理化这种方法技巧进行判断的.

师：好了，我们研究清楚了y=x■的性质，就可以利用描点法及结合它的性质特点画出y=x■的图像了.同理y=x■也可以根据它的性质得到完整的图像，同学们自己课后思考并证明其单调性.

学生继续在同一直角坐标系中完成好这五个幂函数的图像，教师投影展示学生作品，并在多媒体上动画演示这五个常见幂函数的标准函数图像.

【设计意图】 培养学生的作图能力投影展示学生作品，调动学生的学习积极性，增强学生学好数学的信心.

3.探究幂函数的基本性质

观察上面表格及图像的变化规律，学生分组讨论，根据这五个幂函数的性质总结出幂函数的基本性质.

师引导：类比指数函数与对数函数性质的探究过程，主要探究幂函数的哪些性质？比如：定义域、值域、定点、奇偶性及单调性.

经过教师的提示，学生小组合作讨论，得到的结论有：

1.幂函数在（0，+∞）上有定义，并且图像都过定点（1，1）；

2.当α为奇数时，幂函数是奇函数；当α是偶数时，幂函数是偶函数；

3.在第一象限内，当α>0时，在（0，+∞）内是增函数；当α<0时，在（0，+∞）内减函数，且向右无限接近轴，向上无限接近轴.

师总结：幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义证明.

【设计意图】渗透数形结合的数学思想，激发学生的思维，培养学生的识图能力及总结归纳的能力.并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.

三、新知应用

例1：已知幂函数y=f（x）的图像过点（2，■），试求出这个函数的解析式.

分析：已知函数类型求函数解析式，利用待定系数法.

解：设所求的幂函数为y=x■，

∵■=2■，即2■=2■，∴α=■，

∴所求的幂函数为y=x■.

例2：比较下列各组数中两个值的大小.

（1）3■和0.8■ （2）（■）■和（■）■

师：在指数函数性质的应用那一节中，我们已经分析过这种比较同指数不同底数的两个幂的大小，请同学们回顾一下当时所讲的方法.那么根据我们今天所学的内容还有没有其他方法比较这两个值的大小呢？

学生小组讨论，教师引导分析，之前是利用指数函数的图像比较这两组值的大小的，今天我们可以利用幂函数的单调性比较大小.

解：（1） y=x■在（0，+∞）上是减函数，∵ 3>0.8，∴ 3■<0.8■.

（2） y= x■在（0，+∞）上是增函数，∵■<■，∴（■）■<（■）■.

师小结：比较同指数不同底数的两个幂的大小，还可以利用幂函数的单调性来判断.

跟踪练习：比较下列各组数的大小.

（1）-8■和-（■）■

（2）（-2）■和（-2.5）■

（3）1.1■和1.2■

（4）4.1■，3.8■和（-1.9）■

拓展练习：若（m+4）■<（3-2m）■，求m的取值范围.

【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化.

四、课堂小结，归纳提升

先请学生说说本节课学到了什么知识和思想，然后师生共同总结得到共识：要想系统认识幂函数的性质，必须从它的图像着手，重点抓住幂函数在第一象限内的图像特征，然后根据奇偶性作出其他象限内的图像，因而对函数的定义域、单调性和奇偶性的分析很重要.

五、教学反思

《幂函数》教学反思

本节课是数学必修1第二章《函数》第三节幂函数的第1课时.这节课是在学完指数函数和对数函数后高中阶段接触的第三种初等函数幂函数，因此在教学过程中，类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程和方法，研究幂函数的图像和性质.通过本节课的学习可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为以后学习三角函数、导数相关的内容做好准备.

本班一些学生数学基础较差，理解能力、运算能力、思维能力等参差不齐；一些学生学数学的自信心不强，学习积极性不高.针对这种情况，在教学安排上，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习方法.回顾这节课，心中有很多感想，也有以下思考.

1.反思教学中的设计

（1）这节课是在学生系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数.学生已经学习了指数函数和对数函数的图像和性质，幂函数概念的引入以及图像和性质的研究较易接受.因此这节课从引入幂函数的概念，然后逐个画出五个具体幂函数的图像及分析、探究各自的性质，再归纳出幂函数的基本性质，每一个环节都是以教师引导，以学生的自主探究为主完成是符合学情的.

（2）设计“探究y=x，y=x■，y=x■，y=x■，y=x■五个函数的图像和性质”及“根据五个函数的性质归纳幂函数的基本性质”这两个探究问题，学生通过观察图像、自主探究、主动思考达到对知识的发现和接受，改变过去机械接受和死记结论的状况，符合新课改的理念，同时也完成了这节课的主要教学任务.

（3）在探究完幂函数的概念和性质之后都分别设置了一组练习，通过练习能及时反馈学生对所探求到的知识的掌握程度，便于及时调整课堂教学行为.从课后作业情况看学生对这些知识的掌握是比较好的.

（4）这节课的学习对函数研究方法和步骤的总结及从特殊到一般进行类比、数形结合思想的运用将对后续学习新的函数起到了重要的示范作用.

设计中不足的地方：在“根据五个函数的图像来归纳幂函数的共同性质”的设计中，我的最初目的是想让学生观察五个函数在同一直角坐标系中的图像，然后归纳出幂函数在第一象限的共同性质即定点、奇偶性和单调性.个人觉得有了图，从图中就可以读出性质，然后让学生进行讨论，总结归纳其性质.没有考虑到学生基础差，对已学过的知识没有一个连贯性，课前也没有预习，所以导致大部分学生不知道函数的性质具体有哪些，不知道这个问题从何处出发，需要老师的引导才能作答；而一小部分思维活跃的学生所回答的性质超出了我所设计的范围之内（如有的学生回答的是第一象限的图像特征及幂指数的大小与图像的关系等之类的问题），从而浪费了一些时间，课堂显得有些混乱.因此针对我们这种基础的学生，在设计这个探究时应该像探究前面的五个具体幂函数的性质一样通过表格或者填空的形式，把函数所要探究的性质列举出来，然后让学生对号入座填空就可以了，例如：

问题：通过图像及表格，你能总结出幂函数都有哪些共同性质并说明理由？

（1）幂函数在？摇？摇 ？摇上有意义，并且图像都过定点？摇 ？摇？摇？摇；

（2）当？摇？摇 ？摇？摇时，幂函数是奇函数；当？摇 ？摇？摇？摇时，幂函数是偶函数；

（3）在第一象限内，当？摇？摇 ？摇？摇时是增函数；当？摇 ？摇？摇？摇时是减函数，且向右无限接近？摇？摇 ？摇？摇轴，向上无限接近？摇 ？摇？摇？摇轴.

这样可以节省不少时间，激活学生的思维.因此今后在备课中要多从学生角度出发，既备知识又备学生.

2.反思教学过程

在整个教学过程中，始终体现以学生为本的教育理念.在学生已有的认知基础上进行设问和引导关注学生的认知过程，重视探究问题习惯的培养和养成.因此对整个教学过程我做了以下反思。

（1）首先我由生活中的五个实例引入，概念过渡自然，学生易于接受.然后引导学生从实例出发类比指数函数的定义自己观察、归纳、总结概括出幂函数的定义.在概念理解上，用步步设问、课堂讨论、练习加深理解.由于之前对指数函数和对数函数的识别已经理解得比较透彻，因此根据幂函数的定义识别幂函数就显得比较容易，但还是有部分学生容易把幂函数和指数函数混为一谈，因此特别强调了幂函数和指数函数的区别，并从另外一个角度（例1）让学生认识幂函数.在这个环节上，学生都处理得比较好，达到了预期目的.

（2）幂函数中重点研究了五个具体函数，通过研究它们了解幂函数的性质.先逐个画出五个函数的图像，从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面进行分析、探究得到各自的性质.其中，学生在初中已学习了y=x，y=x■，y=x■这三个简单的幂函数，对它们的图像和性质已经有了一定的感性认识，很容易根据图像归纳出性质，所以不需要做过多的解释和重复.由于学生的基础参差不齐，为了让所有的学生都能掌握好这些基本的知识点，我强调得太多，这里就显得有些啰唆，浪费时间，导致后面教学过程稍显仓促，学生自主探究的时间不够，影响了教学任务的完成.而对于y=x■和y=x■这两个幂函数，我换了一种方式探究它们的性质，直接根据理论知识得到定义域、值域，利用定义判断奇偶性及证明其单调性，然后根据函数所具有的性质再结合描点法画出函数的图像.这种处理方式打破了学生直接用描点法作图的思维方式，通过以性定图，这样作图显得更高效，也为后续的利用导数探索高次函数的图像做了准备.在利用五部曲证明“函数y=■在（0，+∞）内是增函数”这个环节中，通过学生的板演和巡堂，暴露出了学生常见直接判断■-■<0的错误，然后师生共同分析出错误的原因，这样学生就能从反面吸取经验教训，迅速从错误中走出来，从而增强辨别错误的能力，同时也提高分析问题和解决问题的能力.

（3）在“根据五个具体幂函数的性质归纳出幂函数的共同性质”的教学过程中，主要目的是让学生小组合作、讨论交流，观察在同一直角坐标系中五个函数的图像，找出它们的共同特征，然后从定点、奇偶性、单调性等方面探究幂函数的性质.这既是本节课的重点又是难点，因此在这个内容的处理上，也存在一些不足之处.

①由于在之前探究五个具体幂函数的图像和性质时花费的时间比较多，因此这个难点的探究时间比较紧，原本设计的小组讨论、合作交流就没办法充分开展，最后主要是我做引导，学生跟着我的思路探究发现.因此学生的主动性体现得不够，大部分学生还是有疑惑，需要下节课的巩固和课后练习的补充.

②要探究函数的性质必须数形结合.由于我教学经验尚浅不会几何画板的使用，学校也没有图形计算器，因此没法通过改变幂指数的大小观察多个图形的动态变化，只能观察PPT上那五个幂函数图像的静态变化.这样一方面学生很难从感性认识上升到理性认识，另一方面很难训练学生的发散思维，培养学生的学习兴趣和探索精神，更重要的是不易充分调动学生的积极性，课堂氛围略显沉闷.没有将《新课标》倡导的自主探索，发挥学生的主动性，让学生体验数学发现、创造的历程真正落实好.因此，学习几何画板刻不容缓.

③学生的基础比较差，函数的内容对学生来讲一直都是难点，而一节课只有40分钟，由于时间关系，在讨论完幂函数性质之后预期准备的一组练习就没办法完成，这给本节课带来一丝遗憾.因此为了能把更多的时间留给学生讨论，尽可能地考虑到学生的接受能力，内容应该安排两课时教学.

④在课堂教学过程中，应该尽量放手让学生自己解决问题.本节课我自己讲得还是偏多，学生的主体地位体现得还不够.课堂评价更多关注了对个人的评价，而忽略了对小组合作的评价，并且评价方式也不够多样.

3.反思学生的学习过程

学生在课堂上不够兴奋，课堂气氛显得沉闷，学生的参与度不高，这可能跟我的引导及调动课堂气氛的能力有关.

以上不足有待我在今后的教学中不断摸索弥补.总之，课堂的真实自然是教学追求的目标之一，无论是公开课还是讲课比赛都不必太过于追求形式，学生能积极参与到课堂，探索知识的发生、形成过程，把课本知识真正变成为自己的知识，这堂课的目标就实现了.