高三数学复习之三角函数复习策略

欧阳初

【摘 要】三角函数是高三数学的重点，也是高考必考的知识板块之一，因此抓好三角函数的复习教学显得非常重要。本文针对目前高考中三角函数的主要考察类型，从自己多年的高三数学教学经验出发，认真分析和总结了三角函数的相关复习策略，以期能和同行们共勉。

【关键词】高三数学 三角函数 复习策略

三角函数是高中数学的重点，是高考必考的知识块，因此关于三角函数的复习应得到教师和学生们的重视。纵观近年来的高考数学试题，可以发现，对三角函数的考察主要分为4类，即：与三角函数性质有关的问题、与三角函数的图象有关的问题、应用同角变换和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题、解三角形或实际的应用题。针对高考主要考察的内容，笔者通过多年的高三教学经验，对三角函数的复习策略进行了认真分析和总结，希望能给同仁和学生提供帮助。

1灵活掌握三角函数基本概念和公式

1.1掌握三角函数基本概念

熟练掌握三角函数基本概念是解三角函数的前提。在复习三角函数的概念时，其复习要点可归纳为以下几点：（1）角的概念的推广；（2）弧度制；（3）任意角三角函数的定义；（4）同角三角函数的基本关系式，如sinacsca=1，cosaseca=1，tana=sinacosa，sin2a+cos2a=1等；（5）三角函数值的符号规律，如sina与csca，一、二象限正，三、四象限负，cosa与seca，一、四象限正，二、三象限负。只有在复习时让学生熟练掌握其概念，才能让其在解答已知角求三角函数值或已知三角函数值求角等题型时，正确解答。

如例1：设定义在区间（0，）上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象交于点P，过点P作轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数的图象交于点P2，则线段P1P2的长为多少？

解析：本题主要是以三角函数的图像为基础，考察了学生对同角三角函数的关系、方程思想及图形、符号等的转

换能力。从题干中已知x∈（0， ）时，6cosx=5tanx，求

sinx的值。而由6cosx=5tanx，利用同角三角函数的关系，变为正弦函数式6（1 - sin2x）=5sinx，不难求得P1P2=。

1.2灵活使用三角函数的变形公式

三角函数中，公式与公式之间的联系较多，且公式的变形方式比较复杂，因此要想提高学生的解题能力，就要加强其对三角函数变换公式的记忆，并掌握三角函数的公式及公式之间的结构特点、变形技巧，能正用、逆用、变形用各个公式，知道各个公式之间的内在联系。如：三角形中sin（A+B）=sinC，cos4a－sin4a=cos2a－sin2a=cos2a，这样解题时才能快速找到突破口。

2熟练掌握三角函数的图象和性质

在三角函数中，图象和性质是高考出题的重点，且考察形式常出现在大题之中，但常以基础题的出现为主，所以在复习时要让学生充分了解三角函数的图象和性质之间的关系。在复习时，可运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数来获得函数的性质，同时也要利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既利于学生熟练掌握函数图象与性质，又能使其能熟练运用数形结合的思想方法来解题。

例2：已知电流I与时间t的关系式为I=Asin（ωt+φ）。

（1）图1是I=Asin（ωt+φ）（ω>0，|φ|<）在一个周期内的图像，根据图中数据求的解析式；

图1

（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流I=Asin（ωt+φ）

都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

解：（1）由图可知A=300，那么设t1=-，t2=，

则周期T=2（t2－t1）=2（+）=。

∵ω= =150π。

又当t= 时，I=0，即sin（150π· +φ）=0，而

|φ|< ，∴φ =。

故所求的解析式为：I=300sin（150πt + ）。

（2）依题意，周期T≤，即≤ ，（ω>0）

∴ω≤ 300π >942，又ω∈N*，

故最小正整数ω=943。

解析：本题主要是考察学生是否掌握了三角函数的图象与性质的基础知识，其解题的关键点是将图形转化为语言符号，很好地考察了学生的运算能力和逻辑推理能力。

3三角函数应用性题目的复习策略

高考中，在考察三角函数应用题时，一般会与其他函数、导数、不等式、向量或几何等知识相结合，因此在复习时应将其与解三角形、平面向量和复数知识等融合为一个知识模块进行整体复习。

例3：某体育馆逆用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块变长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40米，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在弧EF上，设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在弧EF何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？

解析：如图延长GH交CD于P，因为GH//AM，HP⊥CD，又∠HCP+∠HCF=θ，CH=40，所以HP=CH·sinθ=40sinθ，CP=CH·cosθ=40cosθ，于是HG=50-40sinθ，HM=50-40cosθ，所以矩形AGHM的面积S=HG·HM=（50-40sinθ）（50-40cosθ），（0

≤θ≤）。设sinθ+cosθ=t，则2sinθcosθ=t2-1，因为0≤θ≤

，所以当t=1时，S有最大值，此时2sinθcosθ=0，即sin2θ=

0，因为0 ≤2θ≤π，所以θ=0或。因此，答案为：当H在弧EF的端点E或F处时，健身室面积最大，最大面积为500平方米。

在该题中，由题意结合图形，在直角三角形中利用三角函数关系，用已知长度和角度去构建三角函数关系，再利用换元法即可推导出函数的最值。

总而言之，三角函数的复习是高三数学复习的重点，在复习中无任何捷径可走，需要学生在复习时应熟练掌握三角函数的概念、公式、图象和性质等，并能在熟练记忆基本公式的基础上，灵活使用三角函数的变换公式来求三角函数的最值问题以及等式证明等问题。这也就要求高三数学教师在安排学生进行复习时，须精心地安排和系统地组织，让学生能了解高考的考核范围和知识点，能在熟悉三角函数概念、公式、图象等等基础上做到举一反三，从而不断提高学生的应考能力。

【参考文献】

［1］徐其明.浅谈高考三角函数知识的复习[J].快乐阅读，2013（13）.

［2］张春杰.一节基于问题解决的高三复习课案例——三角函数的图像变换[J].数学教学通讯，2005（6）.