郑 金
(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)
在线性阻力作用下的抛体运动过程属于瞬态过程,而线性力的冲量具有某一特性,因此对这类抛体运动问题的解答有规可循.
下面将利用两个结论对3种不同形式的线性阻尼抛体运动问题进行探究.
对于一个变量x=f(t),设其初始值为x0=f(0),稳态值为x∞=f(∞),若满足一阶常系数线性微分方程
则其解为
即
若变量x=f(t)是关于时间的函数,则式中的常系数τ为时间常量,其国际单位是s.
由此可见,瞬态过程变量x随时间t按指数规律变化.
与速度成正比的力称为正比例线性力,形如f=kv.当力与速度共线时,力在一段时间Δt内的平均值为则其冲量为
这表明与速度共线的正比例线性力的冲量跟位移成正比.
【例1】一质量为m的物体,由地面以初速度v0竖直向上抛出,空气阻力为f=-kv.求:
(1)物体到达最大高度所需时间;
(2)最大高度;
(3)位移与时间的关系式.
解析:(1)取地面为原点,以竖直向上为正方向,由牛顿第二定律有
由此得关于v的一阶常系数线性微分方程的标准形式为
当物体到达最大高度时,速度v=0,则有
即
所以时间为
若kv0mg,则由公式
(2)对上升过程由动量定理有
可得最大高度为
若kv0mg,则由公式
得
(3)对上升到任意高度y的过程由动量定理有
将该式与速度关系式联立,得位移关系式为
对于竖直上抛运动物体所受阻力与重力方向相同;而对于竖直下抛运动物体所受阻力与重力方向相反.因此在由牛顿第二定律和动量定理列方程时要注意物理量的正负号.
【例2】将一质量为m的物体以初速度v0竖直向上抛出,已知物体在运动过程中所受空气阻力的大小与其运动速率成正比,比例系数为k.若物体能够上升的最大高度为H,则其上升过程所用的时间应为
解法1:与例1的解法相同,由牛顿第二定律列微分方程
由瞬态过程的结论得速度随时间变化的关系式
令v=0,得时间为,题中没有该选项.
解法2:对上升过程由动量定理有
得时间为
所以选项B正确.
利用例1的结果可知物体上升的最大高度为
将此式变形为
可见该题两种解法所得结果是等价的,只是形式不同.
【例3】如图1所示,质量为m的小球在高度为h处自A点以水平速度v0抛出,在重力和空气阻力作用下,经一段时间后落在地面上B点,设到达B点时的速度为vt,其方向与水平方向成θ角,小球在运动中受到的空气阻力为f=-kv,其中k为正常量,v为小球在运动中的速度,试求:
(1)落地时的速度vt的大小;
(2)水平位移x的大小;
(3)运动时间t的大小.
图1
解析:(1)把运动沿着水平方向和竖直方向进行分解,分别以初速度方向和竖直向下为正方向,由牛顿第二定律分别列微分方程为
将之化为标准形式为
则有
已知v0x=v0,v0y=0,由瞬态过程的结论可知速度随时间变化的关系式为
分运动速度变化的瞬态过程如图2所示.
图2
(2)对水平分运动由动量定理有
所以水平位移为
(3)对竖直分运动由动量定理有
可得运动时间为
所以
【例4】设质量为m的抛射体初速度为v0,抛射角为α,在空气中运动时,所受阻力与速率成正比,比例系数为k,即f=kv.取平面直角坐标系xOy如图3所示,起抛点为坐标原点O,x轴沿水平方向,y轴垂直于地面向上.求
(1)速度变化规律;
(2)位移变化规律;
(3)运动轨迹方程;
(4)最高点坐标.
图3
解析:(1)速度求解方法与例3相同,水平速度随时间变化的关系式为
以竖直向上为正方向,由牛顿第二定律列微分方程为
化为标准形式为
则
已知v0y=v0sinα,由瞬态过程的结论可知竖直分速度为
(2)对水平分运动由动量定理有
得水平位移为
对竖直分运动由动量定理有
得竖直位移为
(3)由水平位移关系式得
则
可得时间为
把上述关系式代入竖直位移关系式中得抛射体轨迹方程为
(4)上升到最大高度时,竖直分速度为零,由vy=0,得
经历的时间为
对竖直分运动由动量定理有
所以最高点的纵坐标为
综上可见,在线性阻力作用下的抛体运动包括竖抛运动、平抛运动和斜抛运动,对于曲线运动需分解为直线运动.解题的关键是列出两种方程,即由牛顿第二定律列合外力与加速度关系的微分方程;由动量定理列冲量与动量变化关系的方程.由于线性阻尼抛体运动过程为瞬态过程,因此可利用瞬态过程的结论和线性力冲量的结论使问题化繁为简,避免了微积分运算,使解题思路和过程显得非常清晰、简捷.
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2 周青春.考虑空气阻力时的上抛运动.物理通报,2002(6):11
3 赵坚.一道高三统一测试题引发的思考与争议.物理通报,2004(10):39~40
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