对磁场中逆向思维的探讨

周孝明

（江苏省怀仁中学 江苏 无锡 214196）

通电导线在磁场中受力运动和带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题可以很好地考察学生物理过程分析、空间想象和应用数学知识解决物理问题的能力，因此一直受到高考命题专家的青睐，成为历年的热门考题.特别是几种边界磁场的极值问题，如何根据题设条件确定粒子运动的临界条件，准确确定粒子在临界情况下的运动轨迹是解决极值问题的关键.对于通电导线在磁场中的运动和带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动，尝试用逆向思维的方式加以分析处理并与常规方法加以比较，探究总结处理此类问题的最有效方法.

1 通电导线在磁场中的受力运动

1.1 通电直导线在磁场中的受力运动

【例1】如图1（a）所示，把一通电直导线放在蹄形磁铁磁极的正上方，导线可以自由移动.当导线中通过如图所示方向的电流I时，试判断导线的运动情况.

图1

常规解法：

（1）根据图1（b）所示的导线所处的特殊位置判断其运动情况.将导线AB从N，S极的中间O分成两段，由左手定则可得AO段所受安培力的方向垂直于纸面向外，BO段所受安培力的方向垂直于纸面向里，可见从上向下看，导线AB将绕O点逆时针转动.

（2）根据导线转过90°时的特殊位置判断其上下运动情况.如图1（c）所示，导线AB此时所受安培力方向竖直向下，导线将向下运动.

（3）由上述两个特殊位置的判断可知，当导线不在上述的特殊位置时，所受安培力使AB逆时针转动的同时还要向下运动.

逆向思维法：

根据图1（d）所示的导线所处的特殊位置判断其运动情况.将通电直导线固定，判断蹄形磁铁的转动.由右手螺旋定则判断出磁铁所在平面的磁场方向，磁铁N极所受磁场力垂直纸面向里，S极所受磁场力垂直于纸面向外，可见从上向下看，磁铁相对于导线将顺时针转动.则当磁铁固定时，导线将绕O点逆时针转动.余下求解同上.

1.2 环形导线在磁场中的受力运动

【例2】如图2所示，把轻质导线圈用绝缘细线悬挂在磁铁N极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心，且垂直于线圈平面，当线圈中通入如图方向的电流后，判断线圈如何运动？

图2

常规解法：

方法一：微元法.

首先将圆形线圈分成很多小段，每小段可看作一直线电流，取其中上、下两小段分析，其截面图和受安培力情况如图3（a）所示.根据对称性可知，线圈所受安培力的合力水平向左，故线圈向左运动.

图3

方法二：等效法.

将环形电流等效成一条形磁铁，如图3（b）所示，据异名磁极相吸可知，线圈将向左运动.同时，也可将左侧条形磁铁等效成一环形电流，根据结论“同向电流相吸引，异向电流相排斥”，又可得到相同的答案.

逆向思维法：

根据线圈中的电流方向结合右手螺旋定则知，通过线圈轴线的磁场方向由左端指向右端且离导线越远磁感应强度越小，因此条形磁铁N极受到水平向右的磁场力大于S极受到水平向左的磁场力，合力水平向右.根据力作用的相互性，线圈受到的磁场力水平向左，故线圈向左运动.

综合以上比较可知，微元法适用的范围较广但学生要掌握难度较大，需要较强的综合能力；等效法只适用环形电流与磁铁间的相互作用有局限性.逆向思维法可以明显降低难度，学生更易掌握.

2 带点粒子在有界磁场中的受力运动

2.1 已知有界磁场

【例3】如图4所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向外的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ab边中点方向垂直磁场射入一速度方向跟ab边夹角30°，大小为v的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边足够长，ab边长为L，粒子的重力不计.求：粒子能从bc边上射出磁场的v大小范围.

图4

常规法（动态圆法）：

带电粒子进入磁场时速度的方向确定，故带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹圆的圆心一定在入射点O所受洛伦兹力的射线上.随着速度的逐渐增大，整个运动轨迹圆的半径也逐渐增大，相当于把轨迹圆逐渐放大，如图5所示，在轨迹圆缩放的过程中就可以找到解决问题的“临界”.经分析可得，与bc边相切的轨迹圆的半径是粒子能从bc边射出磁场时的最小半径，与ad边相切的轨迹圆的半径是粒子能从bc边射出磁场区域的最大半径.

图5

设最小半径为r1，最大半径为r2，根据图5中的几何关系，可得

故粒子从ab边射出的条件为

根据洛伦兹力提供向心力由公式

可得结果

逆向思维法（动态线）：

带电粒子进入磁场时速度的方向确定，故带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹圆的圆心一定在入射点O所受洛伦兹力的射线上.在洛伦兹力的射线上任意取一个点做为圆心，画出圆，如图6所示.

图6

粒子要从bc边射出，首先不能穿出ad边，故平移ad边至于圆相切，根据几何关系得最大半径r2＝L，其次恰好能从bc边传出，平移bc边至与圆相切，根据几何关系得最小半径故粒子从bc边射出的条件为，根据洛伦兹力提供向心力有公式可得结果

2.2 未知有界磁场

【例4】一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内.一个质量为m，电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向.后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图7所示.不计重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R.

图7

常规法（动态圆）：

带电粒子进入磁场时速度的方向确定，故带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹圆的圆心一定在y轴上，同时带电粒子出磁场时一定沿着与y轴正方向成30°的方向，延长速度方向得PA直线.随着速度的逐渐增大，整个运动轨迹圆的半径也逐渐增大，相当于把轨迹圆逐渐放大，如图8所示，在轨迹圆放大的过程中就可以找到解决问题的临界圆.根据图8中的几何关系，可得根据洛伦兹力提供向心力有可得结果.根据图可得

图8

逆向思维法（动态线）：

带电粒子进入磁场时速度的方向确定，故带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹圆的圆心一定在y轴上.在y轴上任意取一点做为圆心，画出圆，如图9（a）所示.因带电粒子出磁场时一定沿着与y轴正方向成30°角的方向，故平移与y轴正方向成30°的一条直线，直至与所画圆相切.标出P点位置，OP长度.余下求解同上.

图9

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动最大的难点是根据题意能画出轨迹圆，尤其是临界点的圆.动态圆是最常用的方法，但是对于学生的能力要求也较高，很多学生无法掌握；而动态线法显然优于动态圆法，学生较易掌握.物理教学追求的是将复杂的问题简单化，使之更适合学生认知的就近发展区，让更多的学生能得到发展.