常微分方程课程教师案例式教学法探讨与实践

张秋杰　母丽华　杜红

摘 要：为社会培养具有创新精神和实践能力高素质人才，需要新的教育理论和教育观念。案例式教学是创新教学方法的有效途径，它有助于加深学生对理论知识的理解，培养学生的实践能力。我们在常微分方程课程中加入了案例式教学，实践表明，教学效果很好。

关键词：案例式教学；常微分方程；教学方法

中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）09-0269-03

前言

常微分方程是数学专业的一门专业基础课，一般安排在第三学期。它的前期课程是：数学分析、高等代数、解析几何、大学物理等。本课程是数学应用于物理、力学等的桥梁，是运用数学工具解决实际问题的重要工具和基础，也是加深理解数学分析、高等代数等课程的重要课程。常微分方程是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力，为学习本学科的后续课程打下基础。另一方面培养学生理论联系实际分析问题和解决问题的能力。根据本门课程应用广泛的特点为了达到上述的教学目标，引入案例式教学。

一、案例式教学特点

案例式教学学生分组进行，学生在案例研究中，运用课程所学的理论和方法，搜索与案例有关的信息，发挥自己的智慧运用所学的知识解决问题，使学生“参与”研究、讨论从而“掌握”课程内容的知识点。教师就学生讨论给予引导，就学生的研究内容加以专业点评，使学生能够迅速掌握理论联系实际问题的方法。案例可以把抽象的原理、概念等具体化，学生通过案例，可以明白这些原理在实际问题中的应用之处，案例教学中每组学生聚集本组智慧的同时，也吸收了其他组的想法，达到培养学生创新精神、实践能力、团结合作的学习效果。事实证明：案例教学对学生能力现实提升有着极好的促进作用。

二、运用案例式教学法，应做好以下三点

（一）教师注意案例的选取要为教学内容服务

采用案例教学法时，案例的选择不是随意地拿来，而是要根据教学内容和教学对象的不同，精心选择，精心设计。我们要注意：首先，案例能够恰当的反映教学内容，为教学内容的知识点服务；其次，案例要典型、生动，最好和现实生活能够接触到的事物联系到一起，具有吸引力。这样的案例贴近于学生的生活，使他们更有兴趣参与，更有助于对所学内容的理解。最后，案例难易要适应学生理解知识的进度。一般案例要由易到难，使得学生逐渐接受知识的理解和运用，考虑学生自身能力的差异，尽量选择和设计出所有学生都可理解接受的案例。

（二）案例式教学适当的应用在教学过程中，准确掌控教学过程

案例教学的过程就是在已学知识的基础上适度的提问引出案例，组织学生分组思考、讨论、研究并自我总结，最后教师讲评、总结教学内容，从而完成教学目的的过程。在教学过程中要注意以下几点：（1）案例提问要适度，要有目的，有层次性。所提的问题要围绕教学内容精心设计，突出教学内容的知识点。一般采取由易而难，逐渐深入课题，要考虑到学生对问题的认知顺序，利用问题诱导学生一点一点的逐层思考，最终得出结果，从而达到全面掌握所学知识的目的。（2）教师要有掌控课堂，处理学生突发情况的能力。教师是课堂教学的“领航”者，不仅要视大多数学生对问题的理解、掌握情况循循诱导，尽量让学生自己理解案例，得出正确结果，而且要对有不同想法的学生，给予必要的解释，掌控课堂上的正确学术气氛，这就要求教师上课前预想好各种可能的答案，并作好回答，以保证教学的正常进行。

（三）教师对知识点的总结要求精准，对案例的分析要求详尽、精确

教学的最后环节是知识点的归纳，教师要帮助学生整理零星的知识点，并对案例中未出现的知识内容加以补充。这需要教师加深对教学内容的掌握程度，对知识点的理解程度，和加强对案例的剖析能力。

三、常微分方程课程案例教学的实施过程

（一）案例式教学的实施步骤

第一步，首先教师根据常微分方程课程教学大纲所规定的内容和教学目标，分析内容的重点和难点确定教学的知识点，由知识点的教学内容选择适合的案例，并对案例进行教学上的制准备。例如制作动画、仿真、课件、操作实验等。第二步，教师课堂上讲授不同方程的求解方法，引入比较适合的案例，与学生一起对案例开展分析和讨论，并对学生留有思考问题和要求学生提交研究方案等。第三步，学生分组讨论案例物理背景所提供的条件、建立微分方程求解对解函数做物理解释并提交研究方案。第四步，教师对学生的案例分析和研究方案进行讲评，总结强调案例相关的知识点和理论。第五步，学生根据之前的案例的特点分析知识点的应用适用范围，并寻找新的案例作为小组的讨论和研究内容，提交研究报告，教师对学生所提交的报告批改并给予指导。从而使学生真正的掌握教学的知识点。

实施步骤（见图1）：

（二）常微分方程教学内容中涉及的案例

（1）变量分离方程涉及的案例：嫌疑犯问题、人口问题、电容器充电问题、飞行员跳伞问题、细菌繁殖问题、传染病问题；（2）齐次方程涉及的案例：探照灯反射镜面形状问题；（3）一阶非齐次线性方程涉及的案例：RLC电路问题；（4）可降阶二阶微分方程涉及的案例：交通事故的勘察、悬链线张力分析问题、目标跟踪问题；（5）二阶常系数线性微分方程涉及的案例：弹簧自由振动问题、强迫振动与共振问题。

（三）实施案例式教学举例

本文利用变量分离方程涉及的案例——嫌疑犯问题为例来说明实施案例式教学的过程。

案例式教学应用在教学中，需要教师授课前做好充足的准备。为了使学生理解案例中问题的物理背景，有时需要教师利用多媒体软件以及实验教具辅助教学，因此，教师需要根据案例的不同准备相适应的教学手段。嫌疑犯问题采取的是动画制作，从声音和视觉上震撼学生，从而激发学生的兴趣。endprint

首先，教师在课堂上讲授变量分离方程概念、特点及求解方法。

其次，教师在课堂上播放动画视频提出案例。

嫌疑犯问题：受害者的尸体于晚上7∶30被发现。法医于晚上8∶20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃，1小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几小时内始终保持在21.1℃，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5∶00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室”。从张某的办公室到受害者的家（凶案现场）步行需3分钟，现在的问题是：张某不在现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？

教师用探讨的方式和学生沟通“关键问题计算出受害者的死亡时间是否在5∶03分前，如是则张某排除在嫌疑犯之外”。教师这时提出“那么如何计算出死亡时间哪？” 大家分成四组讨论，最后达成一致的想法是“求解出尸体温度随时间变化的函数，从而确定死亡时间”。

接着，教师引导学生讨论案例的物理背景并建立微分方程。

解：设T（t）表示尸体的温度函数，并记晚8∶20为t=0，则T（0）=32.6，T（1）=31.4，假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37℃，要确定受害者死亡的时间，也就是求T（t）=37的时刻t0，如果此时张某在办公室，则他可被排除在嫌疑犯之外，否则张某不能排除在嫌疑犯之外。

人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，则得到方程为：

=-k（T-21.1）

这是变量分离方程。

然后，教师组织学生用变量分离方程的求解方法解出T（t）=

21.1+11.5

-t，当T=37时，得到t≈-2.95小时≈-2小时57分，故死亡时间为8小时20分-2小时57分，即下午5∶23分，所以张某不能被排除嫌疑犯之外。

案例的整个分析、研究、建立方程、求解方程均有4个小组讨论而成，教师在课堂上起启示、引导的作用，当学生得到最后的结果，教师给予讲评和总结。

最后，教师归纳总结教学内容，帮助学生梳理所学的知识点，并对无法纳入到案例的内容进行补充。教师留两个实践作业：（1）“如果张某的律师找到新证据，证明受害者在死亡当天下午去医院看病，当时测得体温为38.7℃”，回去进一步探讨判断一下张某是否可以排除在嫌疑犯之外？（2）提出新的案例—人口问题，让学生自己分析问题、建立方程、求解方程，从而解决问题。通过这两项作业，不仅让学生独立完成一个与教学案例相似的练习案例，而且巩固了所学的知识。

结语

根据常微分方程课程的教学特点，在教学过程中开展案例式教学是对该门课程传统教学方法的一种教学改革，通过案例式教学可以促进教师专业化发展、完善课堂教学，激发学生对课堂的学习兴趣，加深学生对知识的理解和掌握程度，提高学生创新能力、实践能力。案例式教学在实践过程中，需要教师具有课堂讨论的控制能力，教学内容的专业理解能力，才能发挥案例式教学特有的优越性。endprint