变式教学法在概念教学中的应用及思考

曹达锋

摘 要： 数学概念教学是数学教学过程中的一个重要环节，是数学教学的核心。作者在教学中发现，学生对概念的学习往往不尽如人意，存在许多问题。变式教学法，是通过构造一系列变式的方法展示知识的发生发展的过程、数学问题的结构和演变的过程、解决问题的思维过程，从而形成一种思维训练的有效模式。本文尝试借助变式教学法，在概念教学过程中采用“对概念引入的变式，使实际现象数学化”、“对概念关键特征的变式，使学生掌握概念的本质属性”、“对概念的变式训练，使学生所学概念得到巩固”三个策略，弥补学生在概念学习中的不足，并针对概念变式教学提出思考。

关键词： 数学概念教学 变式教学法 教学应用 教学思考

一

概念是数学的“细胞”，脱离数学概念便无法进行数学思维，也无法构成数学思想和方法。数学中的每一个判断、每一种推理，都是在数学概念的基础上展开的。可以说数学概念是数学基础知识的核心，是进一步学习数学定理、公式、法则、方法及提高能力的基础。因此，数学概念教学十分重要，它是整个教学过程中的一个重要环节。然而，由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，致使教师在教学中往往只重视培养学生思维的逻辑性和精确性，在教学方式上以“告诉”为主，迫使学生“被动”记住新概念，从而置学生于被动地位，使思维呈依赖性，这显然不利于学生的长远发展。在实际教学中，笔者了解到，学生在学习数学概念时呈现出一些认知和方法上的误区。

1.忽视探究概念的生成过程和意义。很多学生常感觉概念学起来枯燥乏味，只需记记背背就可以了，完全是囫囵吞枣，而事实上并未了解概念的由来，因此不能理解概念的意义，更不能进一步将概念为自己所使用。

2.难于把握概念的外延和内涵。换句话说，很多学生往往很难区分概念的本质特征和非本质特征。例如：在学习三角函数时，教材从引入、探索定义到例习题，都是在直角三角形中进行的，这样学生在头脑中就把“直角三角形中的锐角才有正弦余弦”这个非本质特征概括出来，从而缩小概念的外延。

3.无法驾轻就熟运用概念解题。概念教学的终极目标是解决问题，然而，仍存在一部分学生在拿到一道题目时不知该用哪个概念解题。究其原因，此类学生事实上并没有真正掌握概念，或者说对于概念的学习并没有得到有效的巩固。

针对以上学生在学习概念时所表露出来的种种不足，在概念教学中运用变式，显得非常必要和重要。利用变式引导学生积极地参与概念的生成过程，寻找概念的关键特征，那么学生就能置身于老师创设的情境中，像数学家那样“经历”一次数学概念的形成，以及概念的内涵和外延的揭示过程。

二

变式教学法，它的核心是利用构造一系列变式的方法，展示知识发生、发展过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，以及创设暴露思维障碍情境，从而形成一种思维训练的有效模式。它的主要作用在于凝聚学生的注意力，培养学生在相同条件下迁移、发散知识的能力。它能做到结构清晰、层次分明，使不同层次的学生各有所得，尝到成功的乐趣，并激发学习热情，达到举一反三、触类旁通的效果。

把变式教学运用到概念教学中的主要作用是使学生在获得对概念的多角度理解和巩固的同时，让学生“发现”、“创造”，通过多样化的变式培养他们的观察、分析及概括能力，培养他们的思维能力和创新意识。

1.对概念引入的变式，使实际现象数学化。数学概念的一个基本特征是抽象性，然而，许多数学概念又直接来自具体的感性经验。因此，概念引入教学的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。数学概念的引入就是揭示概念发生的实际背景和基础，了解它的必要性与合理性，初步揭示它的内涵与外延，给概念下定义。同时，通过对概念引入的变式，实际现象数学化，达到展示知识形成的过程，促进学生概念的形成。

案例1：在教授函数概念（浙教版八年级上册）“在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数……”时，笔者就尝试在教学中通过加油站加油实况（播放录像）的展示引出函数概念。当看完录像片段后，笔者提出如下问题：“同学们发现什么有趣的现象了吗？”

学生A答：“三个小格子，有一个小格子一动不动，而另外两个小格子里的数字却跳个不停。”

学生B答：“油价7.68元/升不变，而油量与金额跳个不停。”

笔者紧接着问：“为什么这两个数字要一齐跳呢？”

学生C接过我的话说：“在加油过程中，油量在变，所以金额也跟着变化。”

笔者问：“那么在加油过程中，这三个量分别是什么量（常量或变量。）”

学生集体答：“油的单价（7.68元/升）始终保持不变，它是‘常量，油量和金额可以取不同的值，所以它们都是‘变量。”

笔者乘机引出：“这就是我们今天这节课研究的内容。在加油这个变化过程中，有两个变量（油量x和金额y），对于油量x每一确定值，金额y都会有唯一确定的值与它对应，那我们就说金额y是油量x的函数，x叫做自变量。”

函数概念是初中阶段数学学习的一个重要内容，同时它又是一个非常抽象的概念，如何让学生真正理解函数概念一直是教学的难点。《课程标准》指出：数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应该遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

笔者根据学生的现有知识水平、课堂教学目标、具体学习内容等方面，通过对概念引入进行变式，创设出了符合学生生活经验和认知特点的情境。只有在具体、可感、实际并具有亲和力的情境下，才能让学生感到数学概念原来并不抽象。如此，既可让学生自觉参与和投入到学习中，又有利于学习目标的实现，最终促进学生概念体系的形成。

2.对概念关键特征的变式，使学生掌握概念的本质属性。概念引入后，学生虽然对概念的定义有了初步的了解，但并没有将理性认识上升为科学概念体系。因此，还必须引导学生全面深刻地分析、理解概念，明确其内涵和外延及概念间的关系，对概念关键特征进行变式，使学生把握概念的本质属性，达到既知其然，又知其所以然的目的。

案例2：在“同位角、内错角、同旁内角”概念教学，先要求学生认清“三线八角”（如图一）：

笔者先让学生认清三线关系，即哪两条直线被另一条直线所截，进一步再从角与角之间的关系入手，引导分析，概括出同位角、内错角、同旁内角的定义。

同位角：注意两个“同位”是指既要在前两条直线的同一位置，又都在第三条直线的同旁的两个角，图中的∠1、∠5都是在前两条直线a、b的上方，同时又在第三条直线c的左边，因此∠1与∠5是同位，给出变式图形（图二）。

内错角和同旁内角：首先抓住一个“内”字——在前两条直线之间即“内部”去找，发现∠2、∠3、∠5、∠8，同时发现，∠2与∠8它们被第三条直线c错开了，所以就是内错角；∠2与∠5它们在第三条直线c的同旁，所以就是同旁内角。

在概念思维中，学生形成一个概念就要做到在思维过程中对一类事物共有的本质属性进行概括。概括是否明确，直接影响到它所形成的概念是否真实、正确。笔者通过对同位角、内错角、同旁内角三个概念的关键特征进行变式，引领学生积极参与形成概念和明确概念的全过程，从中不仅让学生真正把握概念的本质特征，区分不同概念之间的本质差别，而且训练学生的思维能力。如此，可使大部分学生牢牢掌握概念的关键点，并在解题时运用自如。

案例3：在学习三角函数时，笔者尝试如下方法作出变式。

变式一：如图一，求∠B的正弦值。

变式二：如图二，已知等腰△ABC，AB=AC=13，BC=10，求∠B的正弦值。

学生活动：过A点作AD垂直BC，则AD与AB的比值就是∠B的正弦值。

3.对概念的变式训练，使学生所学概念得到巩固。数学概念的教学，通常是从生动直观上升到抽象思维，又从抽象思维落实到具体实践，这样多次反复才能完成。因此，巩固和运用概念是概念教学非常重要的环节。心理学原理告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固就会很快遗忘。巩固概念，应在引入、形成概念之后，引导学生正确地复述，运用变式训练，熟悉概念、巩固概念、运用概念，提高解决问题的能力。教师应根据教学目标和学习交流中所得到的反馈信息，精心选编题目，并通过变式得到一组变式训练题组，让学生在探索、变式、解答中，深化对概念的理解。

案例4：如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练。

例题：16的平方根是？摇？摇 ？摇？摇。

此例题主要是让学生理解、掌握平方根的概念。但本节课还介绍了正的平方根，负的平方根这两个概念。学生在刚刚学习这几个概念时，往往区分不开，为了让学生加深对这几个概念的理解，笔者在例题的基础上设置了变式1。

变式1：16的正的平方根是？摇 ？摇？摇？摇。16的负的平方根是？摇？摇 ？摇？摇。

通过这个变式1和例题的对比，学生可以很清晰地理解几个概念的联系和区别，加深对概念的内化理解。

在平方根这节课的教学时，还介绍了平方根、正的平方根、负的平方根的符号表达式，但在应用时学生对符号式和文字表达理解不够深刻，往往到初三复习时还会出现理解错误，因此在变式1的基础上笔者又出示了变式2。

学生在解决变式2时出错率很高，把此题错误的理解成“求16的正的平方根，得到的答案多数为4”，这正是学生没有理解好符号与文字表达的关系的具体体现。在学生出错的基础上讲解，此题要经过两次运算，先算等于4，再算4的正的平方根等于2。学生听完讲解恍然大悟，理解了自己出错的真正原因，加深了对符号表达和概念的理解。

接下来，为了锻炼学生对概念的灵活掌握和应用，培养学生逆向思维的能力笔者设置了下面的变式题。

变式3：已知a的平方根是±0.5，则a=？摇？摇 ？摇？摇。

通过这个变式训练，学生对平方根的概念掌握更灵活，数学思维能力也得到提高。给出概念之后，及时采取多种形式的变式，进一步提高学生对概念的认识，有助于学生巩固已学的概念。

三

加强对概念的变式训练，促使学生从感性认识上升到理性认识。只有在理解和形成概念的基础上，引导他们对学过的概念进行归纳整理，才有利于更好地掌握概念，明确哪些是事物的本质属性，哪些是事物的非本质属性。

概念变式教学运用，有利于学生轻松理解概念的本质属性，促使学生进行有意义的学习，避免反复机械训练，一味地被动灌输，进而建立新概念与已有概念的本质联系，并帮助学生形成良好的知识结构，灵活的问题解决能力，以及概念体系。当然任何事物都应遵循科学合理原则，变式在概念教学过程中的运用也不例外。在采用概念变式教学过程中，笔者认为应该注意以下几点：

1.概念变式前要有预设和针对性。变式是为了让学生更好地理解概念、掌握概念，而不是为了变式而变式，那样反而导致“过则不及”。因此，我们在平时的概念教学中，对概念变式前要有充分的预设和针对性，针对学生掌握程度，对学生模糊、易错、易混淆的概念进行针对性变式，这样才能真正把握概念，从而切实提高数学学习效率。

2.概念变式时要把握两个“度”。在概念教学中，变式要注意两个“度”：一个是引用的变式例子要有“梯度”，要循序渐进，切不可追求“一步到位”，否则容易使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，从而降低学习效率；另一个就是引用例子不要“过度”，变式的数量要“适度”，不是多多益善，否则就成了题海战，反而会降低学生学习的积极性。

3.概念变式后要有系统总结。教师要对变式进行分析及系统的总结。每呈现一类实例必须分析其所具有的特征，并引导学生认识哪些是本质特征，哪些是非本质特征。当所呈现的各类实例都分析完之后，应该进行系统总结，归纳和概括各类实例中分析出来的本质特征与非本质特征，从而进一步排除非本质特征，突出和强调共同的、本质的特征，达到事半功倍的教学效果。

参考文献：

[1]中学数学教学引论.石油大学出版社.

[2]郑强.初中数学课堂教学的55个细节.四川教育出版社.

[3]刘长春.在函数教学中实施变式教学.数学教学.

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[5]陈学军.影响数学概念学习的因素及其对策.中学数学月刊，2012（4）.

[6]王伟.数学变式百例精讲.宁波出版社，2006.

[7]初中数学新课程标准，2012.