精心设计习题，提高教学实效

林雪嫦

摘要：练习是检查数学课堂教学成果的重要手段，也是将数学知识转化为能力，培养学生良好思维品质的重要途径。高质量的、有针对性的习题，不仅可以使学生跳出“题海”，而且能提高学生的数学解题能力。本文结合笔者自身的教学实践，从五个方面论述了如何精心设计数学习题，提高初中数学教学实效。

关键词：初中数学；习题设计；教学实效

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）04-0119

在数学学习中，学生有将近二分之一的时间在做练习。因此，练习的质量优劣，直接影响着数学教学的效果好坏。然而，在教学中，很多教师关注的比较多的是教学目标定位是否准确、教学环节设计是否科学、教学方法是否创新以及教学课件制作是否精巧。而对课后习题的关注往往很少。我们走进数学教师的办公室，普遍看到的是现成的教辅或者是统一征订的试卷，很少有数学教师亲自精选或编写习题。其实，练习是检查数学课堂教学成果的重要手段，也是将数学知识转化为能力，培养学生良好思维品质的重要途径。高质量的、有针对性的习题，不仅提高学生做题的兴趣，而且提高学生数学的解题能力。优化习题设计，能更好地彰显数学魅力，同时也能引导学生顺利地进入数学殿堂。可以说，习题是打开数学大门的一把金钥匙。本文结合笔者的教学实践，谈谈数学习题设计的方法。

一、精心设计易错题，打破学生思维定势

学生在解题的时候，往往受定势思维和解题习惯的影响，对于习题中条件的变化，他们还是会照搬例题的解题方法和思路，不能做到随题应变。因此，教师应通过易错题来帮助学生真正理解和思考问题。然后让学生总结错识的原因，从而让他们发现在解题时思维上的误区和方法上的不足。

案例1：《一元二次方程的应用》的习题。

一淘宝商家进了一批手机充电宝，准备在“双11”促销，该充电宝的进价为40元。经市场预测，如果销售价标为50元，可售出180个，定价每增加1 元，销售量将减少10个，该商家若准备在这一天获利1600元，则应该进货多少，定价为多少？

说明：该题与浙教版八年级下册数学教材第41页A1题相似。不同的是，教材中习题最后求出的两个根都是正数，且都符合题意。而解本题：设定价为（50+x）元，则每销售一个获利（50+x-40）元，共销售（180-10x）个。根据题意得（50+x-40）（180-10x）=1600，解得方程的两个根x1=-2，x2=10，其实也符合题意。但是学生往往会把x1=-2舍去，以为涨价不能为负数。这是受“人数”、“长度”等量不能为负数的定势思维的影响。因此，设计该题的目的是帮助学生消除定势思维的影响，使之清楚地了解进价、定价、涨价各种量之间的关系。避免解一元二次方程在两根的取舍上出现错误。设计该题，既考虑到课题的主要内容，又考虑到学生的薄弱点。

二、精心选择针对性习题，激活学生解题思维

数学学习是一个循序渐进的过程，不同时期的作业应根据学生的实际水平和课堂的教学目标进行精选，避免出现大量简单重复机械操作的作业，那样就会让学生深陷题海的深渊。因此有针对性地选择一些习题，学生通过知识的同类比较，异同比较，既可以发挥学生的主体作用，化解教学的重难点，又能激活学生的解题思维，提高学生的解题能力。

案例2：一次函数复习

例如：在学习了一次方程（组） 、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：

（1） 请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：

① ；② ；③ ；④ 。

（2）如果点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≥k1x+b1 的解集是 。

说明：在一次函数复习中，大部分学生对一次函数概念、图象位置、增减性都很清楚，真正困难在于：在图象和表达式中发现有用的信息来解决问题；用不等式、方程、函数表示现实问题中数量关系；用函数图象表示方程、不等式之间的相互关系等等。因此，设计这样的一组习题，展开对函数、方程、不等式之间关系用数形结合思想进行知识梳理，有的放矢，化解教学难点，提高学生的解题能力。

三、精心设计梯度题组，纠正学生模糊认知

在数学学习过程中，学生难免会在认知上出现一些偏差，并且他们自己也不会察觉。要澄清这些潜意识中存在的模糊认识，就要采用一些适当的问题和方法，让学生加以辨析，这样有助于学生明晰知识，进而促进学生深入理解数学知识，优化解题思维。

第一，并列式题组：

习题设计要立足于数学核心知识。因为紧扣核心知识点设计题组，就是抓住了教学的重难点。而随着这些题组慢慢解开，教学的重难点也就一步一步被攻克。

案例3：在复习特殊四边形时，笔者设置了这样一组题：

判断下列各题是对是错。对的说明理由，错误的举出反例。

1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。（ ）

2. 一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形。（ ）

3. 对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）

4. 对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形。（ ）

5. 一组邻边相等，且有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（ ）

6. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（ ）

7. 两个角相等的梯形一定是等腰梯形。（ ）

说明：这一组问题都设有“陷阱”，学生假如没有认真分析，就会出现错误。因此，通过这7个命题的分析，澄清学生的模糊认知，增强了思辨能力。很多学生被第2、3、5、7题所蒙蔽。仅仅知道它是错误的，却不能举出反例，表现出思维的肤浅。于是笔者组织学生对习题进行充分讨论与交流，进行反例的构建，得出如下结论：第2题、第3题、第5题的反例分别为：图1、图2、图3，第7题的反例为“直角梯形”。

第二，递进式题组：

数学习题设计的原则之一是由易到难，循序渐进，需要有层次性。这样一步步将问题难度加深，让不同层次的学生都能达到有效训练的目的。从而揭开题目的规律，发展学生的解题思维。

案例4：为了加深学生对等腰三角形性质的理解，笔者设计了下列一组递进式题组：

（1）如果等腰△ABC的一个底角为70°，那么它的顶角∠A度数是多少？

（2）如果等腰△ABC的顶角∠A为70°，那么它的底角∠B、∠C度数是多少？

（3）如果等腰△ABC的一个内角为70°，那么它的其余的内角度数各是多少？

（4）如果等腰△ABC的一个内角为110°，那么它的其余的内角度数各是多少？

（5）如果等腰△ABC的一个内角为n°，那么它的其余的内角度数各是多少？

说明：该题组中的（1）、（2）题立足于等腰三角形的两个底角相等这一基本性质，第（3）题则需要考虑这个70°内角的位置，第（4）题需要强调的是，当内角为钝角时，它的位置只能是顶角。否则，就不符合三角形三个内角的和等于180°的性质了。第（5）题则是用字母代替数，需要综合考虑上述的各个因素，难度又有所增加。通过这样的习题，加强了学生对等腰三角形的性质定理的理解和直接应用，促进学生积极思维，培养了学生分析问题、解决问题的能力。

四、精心设计开放性习题，发展学生的求异思维

解决一个数学问题，方法往往是多种多样的。学生可以从不同的角度、不同的方法去思考。而改变题目的条件或结论，增加题目的开放程度，可以帮助学生寻找不同的解决途径和思维方式，从而使学生掌握解决同类问题的方法和规律，提高学生的综合应变能力。

案例5：相似三角形复习课，笔者设计了如下的开放性习题：

（1）如图4，D、E两点分别在△ABC的边AB、AC上，当满足什么条件时，△ADE与△ABC相似（写出一个即可）？

（2）如图5，锐角△ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于点E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形。

（3）如果将问题2中的“锐角△ABC”改为“Rt△ABC”，（如图6），其他条件不变，画出满足条件的图形。

这种开放性的习题，由于答案不是唯一，学生就有了想象与创造的空间。他们在寻求答案的过程中，发散思维与求异思维得到了发展。在讲评习题的过程中，全体学生参与讨论，他们各抒己见、互相启发、取长补短，学习的积极性得到充分调动，教学效果比较明显。

五、精心设计变式题，开拓学生解题思路

当前，很多学业考试的题目是由数学教材中的例题、习题进行改编。这类原题知识覆盖面广，同时又强调对“四基”（即基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验）的考查，适当对教材中的探究、例题、练习进行类比、加工、改造，设置不同的情境或变换条件，让习题尽量多地回归教材，既能开拓学生的解题思路，更能培养学生驾驭教材知识的能力。

原题1：如图9，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF，求证：AE=BF。

原题2：如图10，O是正方形ABCD的对角线的交点，EF、GH都过点O，EF⊥GH，AE=CF。

（1）以点O为旋转中心，将整个图作旋转变换，问至少旋转多少度，所得的像和原图形重合？

（2）根据第（1）题的结果，判断图中有哪些全等的四边形。

（3）若CF=2，CG=6，求图中每个四边形的面积。

在设计习题时，我们可以对它进行变式：

变式1：如图11，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，AE、BF交于点O，∠AOF=90°，求证：BE=CF。

变式2：如图12，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4，求GH的长。

变式3：已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4，直接写出下列两题的答案：

（1）如图13，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；

（2）如图14，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长。（用含n的代数式表示）。

（上接第120页）

说明：变式1与原题1基本一样，只是把结论改变了一下。变式2是在变式1的基础上，把两条线段进行平移，而这两条线段的长度保持不变。学生弄清楚变式1的思路，该题就能迎刃而解。变式3又在变式2的基础上，把1个正方形变成2个全等的正方形和n个正方形让学生分析两条线段的关系。因此，在教学中，精心选择一些例题、习题或数学题材，进行恰当的拓展或改编，引导学生深入数学的本质来理解知识，从而训练学生思维的深刻性。

实践证明，选用与设计的习题，既要考虑涵盖教材的内容，注重各知识点的考查，又要关注学生的学情，考虑作业的难度与层次。设计的题型精一点，学生就会学得活一点。习题设计得新一点，学生就会做得有趣一点。由此观之，精心设计习题是轻负提效、发展学生数学思维能力的有效途径。

参考文献：

[1] 张合远.充分挖掘教材资源，提高中考复习效率[J].中国数学教育，2012（5）.

[2] 邢成云.题组引领 梯度推进—例谈题组梯度复习法[J].中国数学教育，2010（Z2）.

[3] 朱 林.能产生实效性的习题设计[J].中国数学教育，2011（9）.

[4] 王继伟.浅谈对错误资源的有效利用[J].中国数学教育，2012（10）.

（作者单位：浙江省永嘉县瓯北第五中学 325102）