静电平衡导体表面电荷分布的MATLAB模拟

吴 昊 吴方平 韩仙华

(解放军理工大学理学院 江苏 南京 211101)

在大学物理教学中，关于静电平衡的导体表面感应电荷的分布，由于涉及到电动力学的知识，大学物理课程不便介绍定量的理论计算过程.在这方面的教学研究文献中，基本可分为以下三类：

第一类是用电场线分布和高斯定理来分析问题，未涉及导体各点处感应电荷的定量分布[1,2];

第二类是基于电动力学来分析一些对称性较强的情形(球形或椭球形)[3,4]；

第三类给出了个别情况下导体表面电荷面密度的二维分布图[5,6].

本文作者受第三类文献的启发，尝试经过电动力学的理论推导得到的结果，再用MATLAB科学计算软件模拟一个典型的对称性较强的静电平衡导体表面电荷分布.相比第三类文献，我们不仅总结了研究对象在初始状态改变时相应的变化趋势，还以立体直观的三维图像呈现了感应电荷分布.

1 处在点电荷电场中的导体球

图1中一半径为R的导体球，距球心a(a>R)处有一点电荷q，求导体球表面感应电荷分布.

图1 处在点电荷电场中的导体球

采用电像法[7]，表面的感应电荷分布为

(1)

取导体球半径为0.1 m,点电荷距离球心分别为0.2 m,0.3 m,0.5 m,导体球表面感应电荷密度分布如图2所示.由图2可知，感应电荷面密度有正有负，并且在图中也能得到正负电荷的分界线.当点电荷离球心足够远(如图中取0.5 m)时，电荷面密度趋向均匀分布.

图2 不接地导体球表面感应电密度分布图

2 处在点电荷电场中的接地导体球

若导体球接地，导体球表面感应电荷面密度为

(2)

取接地导体球半径为0.1 m, 点电荷距离导体球球心分别取0.2 m,0.3 m,0.5 m时，导体球表面电荷分布如图3所示.

图3 接地导体球表面电荷分布

由图3可知，接地时，导体球感应电荷面密度均为负，大小随θ角增大而减小.当点电荷离球心足够距离时，电荷面密度同样趋向均匀分布.

3 两种情况的对比与三维显示

图4为导体球半径为0.1 m, 点电荷距离导体球球心为0.2 m时，导体球不接地与接地时表面感应电荷分布的对比图.

图4 导体球不接地与接地时的对比图

取导体球半径为0.1 m, 点电荷距离导体球球心为0.2 m时，导体球不接地与接地时表面感应电荷分布的三维模拟图分别如图5所示.

(a)导体球不接地时三维模拟图

(b)导体球接地时三维模拟图

为不影响电荷密度数值的表达，图中未勾画出导体球外廓.通过操作指令，可以旋转视角，观察不同位置处电荷分布.

若导体球内有一同心球状空腔，空腔内有一点电荷.空腔导体球外表面感应电荷分布由对称性比较容易求得，而空腔内表面的感应电荷分布经推导，结果与上述无空腔时导体球外表面电荷分布完全吻合，在此不再赘述.

4 结语

从上述典型情况的模拟图可以看出，利用MATLAB模拟静电平衡导体的感应电荷分布，解决了大学物理课程不便将相应内容的定量运算过程引入课堂教学中的问题，很好地给学生呈现了感应电荷分布的定量表示，一方面展示了在不同初始状态下感应电荷分布的变化情况，另一方面三维图像立体直观的效果也能极大地促进学生对相应内容的理解.

参考文献

1 赵彦杰,张泽波.导体静电平衡时求解电量的基本原则分析.德州学院学报,2003,19(2):29～31

2 渊小春.对导体处于静电平衡状态几个问题的讨论.陕西师范大学继续教育学报(西安),2006,23(4):103～105

3 王秀娥.关于静电平衡导体表面电荷分布规律的研究.北京工商大学学报(自然科学版)，2003，21(3):59～60

4 陈伯俊,周思华.静电平衡条件下导体面电荷分布研究.新乡学院学报(自然科学版),2009,26(5):22～23

5 吕荣华，倪一宁.关于静电平衡中导体感应电荷分布的问题.物理通报，2002,4:42～43

6 江俊勤.关于静电平衡中导体感应电荷分布的问题.物理教师,2001,22(11):29～30

7 罗春荣，陆建隆.电动力学.西安：西安交通大学出版社，2000.80～81