位移共振与速度共振之别

郑 金

(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

在机械振动中，共振现象包括两种，即位移共振和速度共振；在电磁振荡中，共振现象也包括两种，即电压共振和电流共振，统称为电谐振.那么位移共振与速度共振有何异同？电压共振与电流共振相当于机械振动中的哪种共振？下面举例分析.

1 机械振动中的位移共振和速度共振

物体在弹簧弹力和正比于速度的线性力作用下的运动为阻尼振动.

【例1】有一个竖直弹簧振子，弹簧的劲度系数为κ，振子为圆盘形，质量为m，其表面与弹簧垂直，在某种液体中上下振动，在运动速度较小的情况下，粘滞阻力的大小与速率成正比，即f=κ′v，若圆盘还受到一个沿竖直方向的周期性外力F′=Fmsinω′t的作用，选择平衡位置为原点，坐标轴竖直向下，设开始向下的初速度为v0，试求振子的位置坐标随时间的变化规律.

解析:对于竖直弹簧振子，当以平衡位置为坐标原点时，重力无影响；再者，振子质量较小，重力可忽略.圆盘形的振子体积较小，受到液体的浮力可忽略不计，以竖直向下为正方向，由牛顿第二定律，有

-κx-κ′v+Fmsinω′t=ma

即

如图3所示，将圆台母线延长，恰交于小活塞中点O，以O为原点建立x轴.

则

所以

设OE=x，则

所以深度E处水的压强为

E处长为dx的微元环面积dS为

缸体侧壁所受总压力

所以缸体侧壁所受总力的竖直分力F侧为

F侧=F总sinθ=

8F+136=8F+136 (单位：N)

所以

N=G缸-F侧=

50×10-(8F+136)=

-8F+364 (单位：N)

即

齐次微分方程的特征方程为

其两个根为

当阻尼因数较小即β<ω0时，为弱阻尼状态，特征方程有两个共轭复根，即

对该式有两种情况:

(1)无阻尼时，即当β=0时，r=±iω0，振动为无阻尼的受迫振动，这种振动包括两种情形.

其一，若扰动度频率与固有频率不等，即ω′≠ω0，则由高等数学二阶常系数非齐次线性微分方程理论可知，微分方程的通解为

其二，若扰动频率等于固有频率，则微分方程的通解为

2 电谐振

【例2】如图1所示，有一个电阻R，自感L，电容C和电源E串联组成的电路，其中R，L及C为常量，电源电动势是时间t的函数：E=Emsinω′t，这里Em及ω′也是常量.电源内阻不计.当闭合开关接通电源时，试推导电容器两极的电压随时间变化的微分方程及电谐振条件.

图1

列出回路电路电压方程为

E-EL-uC-uR=0

即

得

化简为

可知函数y最小值的条件是

此时电压幅取得最大值，因此RLC串联电路的电压谐振与机械振动的位移共振相应.

由此可知电流幅取极大值的条件是外界扰动频率ω′与系统固有频率ω0相等，因此电流谐振与机械振动的速度共振相应.

电流谐振现象可通过实验来观察，将RLC串联电路中的电阻元件换为小灯泡，当调节交流电源的频率等于RLC串联电路的固有频率时，即在ω′=ω0的条件小灯泡最亮，表明此时电流最大，即电路中交变电流的有效值最大，发生电流谐振.这是由于谐振时电抗为零，则阻抗最小，即RLC串联电路的等效电阻为纯电阻R.电谐振实质是在交流电通过RLC电路中的电容和电感时，交流电源本身的周期性变化与LC电路充、放电的周期性变化步调一致，即二者固有频率相等，达到稳定状态.

对于串联谐振电路发生谐振的条件，还可通过欧姆定律和阻抗公式及容抗公式来推导.

设电路中交流电源为E=Emsinωt，则阻抗为

而

令

y=R2ω2C2+(ω2LC-1)2=

L2C2ω4+(R2C2-2LC)ω2+1

这是关于变量ω2的二次函数，有最小值条件是

即

在此条件下，电容器两端的电压的有效值达到最大，电压的峰值也达到最大，因此发生电压谐振.

参考文献

1 同济大学数学教研室.高等数学(下册).北京：高等教育出版社，1986.375

2 漆安慎，杜婵英.力学基础.北京：高等教育出版社，1987.432～436

3 周绍敏.电工基础(第三版).北京：高等教育出版社，2005.169

4 吴进校.应如何定义共振.物理通报，2003(9):12