学生一遍胜过老师N遍

吴淑芹

“这种题型，都讲N遍了，怎么还有那么多人错？”老师们常有埋怨，尤其是阅完卷统计得分率时，更是感慨万千。为什么呢？老师和学生对数学知识、数学概念以及数学思想方法的理解和认知存在着很大的差别，在老师看来很简单的方法，学生并不一定认为简单。但学生经过自己思考，得出的方法就不一样了！他们的方法有的不比老师差，有的也许看上去比较繁，有的甚至片面，但这是学生自己的理解，是自己思考的结晶，反映了学生掌握的数学知识和方法。因此，对可取的方法，老师要适时地肯定、赞扬；其他的，老师则要用欣赏的目光加以鼓励并相机点拨，及时对不够科学的地方加以引导，让其享受自己“完整的一遍”。这对提高教学效率有着事半功倍的作用。

一、温情鼓励学生完成“自己的一遍”

到了高中阶段，老师总感到有做不完的练习，考不完的试卷。无论什么考试或作业，得满分的学生相对较少，试题中总会有学生做不完整或不会做。如果老师的批阅只是打个叉，画个圈，然后就只顾讲解试题的解法，表面看来是充分利用课堂的每一分钟，认真完成每一道试题的讲解，可是到头来教师的N遍后，学生的错误率依然不减。究其原因：一来，在老师讲解之时，许多学生还在想他自己的方法，根本就没有听进老师的讲解。二来，学生即使听完了老师的讲解也未必能很快地理解、消化，更谈不上运用，课后又疲于应付完成诸多科目的作业，无暇仔细揣摩。因此，老师可在批改答题时“分步”给分，讲评时给予适当鼓励，正确引导，并留有一定的时间让他们继续研究自己的方法，认真完成自己的一遍，和他一起找出原来未完成的原因：是时间不够，某个知识点没有掌握，还是没有理解题意。再指导他进行总结和反思，找出差距。告诉他：只差一点点就是满分，补上这“一点点”今天班级前面演讲的就是你！因为，你的方法比他的更加精彩！如此等等。让学生在小结反思自己不足的同时内心享受成功的愉悦，增强学习的信心，从而在学习上加倍努力。

二、激情肯定学生自己完成的一遍

瑞士心理学家皮亚杰说过：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”学生的兴趣来源于内心成功的体验，同学的欣赏，老师的表扬。高中的学生接受过N个数学老师的教学，经历了不同老师的教学风格，加之学生个体之间的差异，有时由于先入为主，老师认为相对复杂的方法，而他已经习惯了；老师认为简单的方法，学生接受起来还要一个过程，也许会认为比原先的还难，正所谓：“难者不会，会者不难”。更何况数学知识丰富多彩，稍微变换一些条件，学生稍复杂的方法又是解决新问题的简单方法。因此，对学生的解法，教师应巧妙地挖掘其中的合理成分，点拨延伸。有时为了学生自尊心、信心以及知识复习的需要，对学生完成的试题作适当变动，使其方法在改变环境后变得可行，以此化解学生的尴尬。很多时候，学生的方法有一定依据和道理，如果老师轻易否定，可能会造成学生一时“不服气”。此时，老师可以肯定其做法的合理性，耐心引导，适当增加一些变式训练，训练学生灵活选择方法的能力，提高解题速度和准确率。

例如：在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列。若b=7、a+c=13，求此三角形的面积。

这么简单的一道题，有位同学却建立坐标系，求出点B所在的椭圆方程，费了很大的笔墨，还没有解出来。当他说出自己的解法时，同学们笑了，他也陷入尴尬的境地。随即我把题目改成：在△ABC中，若b=7、a+c=13，求此三角形的面积的最大值。如此稍作改变，刚才同学的方法就显得简当。这样的改动，在帮助该同学同时，加深全班同学对椭圆定义的理解。接着，又出一道变式训练。如图1，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段BC上的一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设CP=x，△PCD的面积为f（x），则f（x）的最大值为（ ）。同学们给出了以下解法：CP=x，DP=BP=6-x，∴CP+DP=6>2，∴P在以C、D为焦点的椭圆上，很快得到答案2■。

（图1） （图2） （图3）

综上，学生的能力通过一道看似简单的题目得到提高。如果当时只说一句“不行”，那该同学的积极性受到打击，全班同学也少了一次复习椭圆的机会。当然，对学生出现的错误，必须一一指出。

三、倾情展示学生讲解正确的一遍

心理学表明，学生之间对数学知识、数学概念及数学思想方法的理解和认知差距与师生之间的差距客观存在，学生的解题思路与方法更容易被同学接受，更能激起学生间良性的竞争心理。所以，在平常的教学中，我们要努力创造机会倾情让学生展示自己正确的一遍。当学生在班级中表达自己的解题思路时，同学会带有新鲜感、羡慕情，加上知识点认识上的接近，听起来会更加认真。此过程中，讲解者的表现欲得到展示，自尊心得到满足，知识的理解得以加深。同时，讲解中不尽完美的地方，经过老师和同学的追问，老师的点拨，进一步得以完善。事实上，有的问题，学生往往“不好意思”问老师，但却愿意问同学或朋友。学生与学生之间的讨论，比师生之间要“平等”得多。在讨论、追问、解答的同时，讲解的同学的知识再一次得到升华。

对一些“耽误”了的试卷，老师可以推荐几个同学的好解法，“一传十，十传全班”，全班同学学习数学的积极性都被调动起来。

例如：如图2，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且■=2■，若DE是圆A中绕圆心A运动的另一条直径，则■·■=（ ）。 学生的解法不止一种，有取特殊位置（特殊值法）的，有建立直角坐标系的。笔者让学生展示了下面一种解法：■·■=（■+■）（■+■）=■■-■■=■■-1=-■. 许多同学惊讶地问：为什么？怎么想到的？讲的同学停了一会儿说：A是圆心，AD、AE是半径嘛！课后他跟我说：其实，做的时候也没想那么多，同学一追问，倒使我想起老师讲的另一道题的总结。可见，他的知识水平得到了进一步提高。于是，我让他找出原来的题目，和全班同学讨论、比较，使当时总结的“圆的题型通常转化到圆心和半径”的解法具体化了。

接着，给出了以下三道题。（1）如图3，△ABC是边长为2■的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则■·■的取值范围是（ ）； （2）已知圆（x-2）2+y2=9和直线y=kx交于A、B两点，O是坐标原点， 若■+2■=■，则|■|=

（ ）.（3）已知对角线互相垂直且面积为5的四边形，其顶点都在半径为3的圆上，设圆心到两对角线的距离分别为d1、d2则d1+d2的最大值为（ ）.同学们很快给出了比较完美的解法。由此可见，老师总结出来的方法，只有少数同学记住，而由同学说出来，效果就不一样。

总之，无论是上课还是批改作业或阅卷过程中，教师时常会发现学生解题的良好想法、解法。作为教师，不可吝啬自己的表扬和时间，要组织全班同学一起欣赏，让学生在同学面前讲述他的想法和解法。学生经过自己的思考，即使是一遍，也是他自己的，他的印象深刻，理解到位，远胜于老师讲解的N遍。诚然，学生的讲解不可能完美，或许还会犯错，此时老师适时点拨，对该生是锦上添花，对同学则是暗室逢灯、雪中送炭。这个过程看起来是“耽误”了点宝贵的时间，但却能收到意想不到的效果。

（江苏省南京航空航天大学附属高级中学）