数学解题典型错例的经营策略

王全夫

典型错例是指不同学校、不同班级、甚至不同年代的学生都会出现的、较难避免的解题错例。对于典型错例，尽管有些教师在课堂教学中会反复强调并且多次强化，但往往是收效甚微。那么，教师如何把典型错例作为一种教学资源，巧妙地经营好这些错例资源，让学生少犯甚至不犯同样的错误。笔者认为教师可以采取以下经营策略：

假设策略：即把典型错例作为某一知识结论的其中一种假设，让学生通过不同的途径、运用不同的方法去验证各种假设，从中排除错误假设（即典型错例），从而建立正确结论的一种方法。假设策略一般运用在课的开始部分，因为课始部分是学生注意力相对集中的黄金时间，大部分的新授内容都是在这段时间内完成的。因此，教师在这段时间内以假设的方法预设典型错例，能引起全体学生的高度关注，从而起到较好的警示作用，避免学生类似错误的再犯。

例如，教学《平行四边形面积》时往往会出现以下典型错例：平行四边形面积=底边×邻边或平行四边形面积=邻边×高。对于这样的典型错例，教师在《平行四边形面积》教学时，就可进行如下的错例假设：教师先出示一个标有底边长6厘米，邻边长5厘米和底边上的高是4厘米的平行四边形，然后告诉学生；计算这个平行四边形的面积，研究人员曾经出现过以下三种计算方法：方法一：用“底×高”即6×4=24（平方厘米）计算；方法二：用“底×邻边”即6×5=30（平方厘米）计算；方法三：用“邻边×高”即5×4=20（平方厘米）计算。接着对学生说，对于以上这三种方法，你认为哪种方法才是计算这个平行四边形面积的正确方法？紧接着老师可引导学生通过铺1平方厘米小正方形的方法，将错误的假设一一排除，最后剩下正确的假设并加以证明。这样预设，极大地激发了学生探究平行四边形面积计算方法的欲望，从而很好地建立了平行四边形面积的计算方法，有效地避免了同类错误的再犯。

辩论策略：即教师把典型错例作为正反双方辩论的话题，让学生通过对这一话题（典型错例）的辩论，明析此话题的错误所在，从而在头脑中建构正确的结论，杜绝错误结论的再次发生。辩论策略一般运用在学生新知识学习后。此时，学生已经掌握了一定的新知识，具有了一定的判断能力，教师如果预设一些典型的错例让学生进行辩论，就有可能把典型错误消灭在萌芽状态，从而最大限度地避免类似错误的发生，避免由于重复订正造成学习时间的无效流失，提高教学效益。

例如，《份数的初步认识》中容易出现“把一张纸剪成4份，每份就是这张纸的1/4”这样的典型错误。因此，教师在教学份数的初步认识》时就可安排这一话题的辩论。下面是该辩论的实录：

师：把一张纸剪成4份，每份就是这张纸的1/4。正确吗？生1：正确。生2：不正確。师：现在出现了两种结论，那么哪一种结论是正确的呢？下面我们进行一场正方与反方的辩论，我们把认为正确的一方称为正方.认为不正确的一方称为反方，看看倒底是正方对呢还是反方对？下面请各方陈述自己的理由或者反驳对方的观点，开始。生3（正方）：（拿出一张白纸并对折2次，然后沿折痕剪下），你们看，每份不就是这张纸的1/4吗？生4（反方）：（拿出一张白纸并随意撕成4份1：你们看，每份是这张纸的1/4吗？显然不是。生5（正方）：这里说把一张纸剪成4份，难道我们不是剪成4份吗？每份不是这张纸的1/4吗？”生6（反方）：你们是剪成了4份，但是你们是平均剪成了4份，可是题目中并没有说平均分呀？生7（正方））：噢！我知道了！我们刚才忽略了最重要的一点，就是老师并没有说“平均分”，因此此题应该是错误的，现在我同意反方的观点。

这样通过正、反双方的辩论，使全体学生对分数有了更深刻的认识，并且使课堂教学变得更加生动有趣。

纠错策略：即把典型错例以判断题、纠错题等多种形式呈现给学生，然后让学生找出其错误所在，并找出改正的方法。这种方法教师投入的精力相对较少，学生练习的面相对较广，效果也较好，‘是目前大部分教师所使用的方法。

例如，《乘除混合运算》教学时，教师可预设如下错例让学生判断纠错：4.68×4÷4.68×4=（4.68×4）÷（4.68×4）=1÷1=1；《比的应用》教学时，教师可预设如下错例让学生判断纠错：用120em的铁丝做一个长方体的框架，长、宽、高的比是3：2：1。这个长方体的长、宽、高分别是多少？

3+2+1=6，120×3/6=60（cm）120×2/6=40（cm），120×1/6=20（cm）。答：长是60cm，宽是40cm，高是20cm。

极练策略：即把典型错例中的数据进行极端化（让部分数据变得特大或特小）处理后让学生练习，这时学生容易发现按照错例中的解法来解是不对的，需要修正错误的解法，从而建构正确的解法，进而避免错误解法的再次发生。由于有些错例在正常的数据下，学生是很难发现解题的错误所在，但是如果给学生提供一个或几个极端的数据，学生就能轻而易举知道错在哪儿，并加以改正，根本不需要教师太多的解讲与指导。因此，极练策略可以说是一种事半功倍的方法。

例如，《长方形正方形面积》教学后，学生容易出现如下典型错例：一张长8分米、宽5分米的长方形纸，能剪多少个边长是2分米的正方形？学生往往错解成：（8×5）÷（2×2）=40÷4=10（个）。这是由于学生运用“大面积÷小面积=个数”的方法来计算而导致的典型错例。因此，教师可预设如下题目让学生计算：一张长8分米、宽1分米的长方形纸，能剪出边长是2分米的正方形吗？如果不能，为什么？如果能，能剪多少个？此题学生很容易判断不能剪出，因为宽的长度根本不到一个正方形的边长，所以不能剪出。接着教师把题目改为：一张长8分米、宽3分米的长方形纸，能剪出边长是2分米的正方形吗？如果能，能剪多少个？”学生就能很顺利地完成任务，并能初步形成此类问题的解决策略：第一步先算出沿着长边剪，可以剪几个（也就是一排可以剪几个）？第二步沿着宽边剪，可以剪这样的几排？第三步再算出一共可以剪多少个？

学生的典型错例可以说是一把“双刃剑”，教师处理得好可以收到事半功倍的效果，如果处理不当，往往会造成教育的失误。因此，教师应在深入研究典型错例的基础上，结合本班学生的实际，选择合理的处置策略，以便能够充分发挥典型错例所独具的教育价值，确保学生少出现甚至不出现典型错误，提高教学效益。