HPM视角下民族院校数学课堂创造性思维探索

牟金保　熊辉

【摘要】本文主要是针对几个经典的数学理论，提出数学实验，再从HPM视角来解释经典数学理论的创造性思维，借此培养大学生的创造性思维。

【关键词】创造性思维 零点定理 迭代 映射

【基金项目】西藏民族学院校内立项课题；西藏民族学院教学改革与研究项目；西藏教育发展研究中心立项课题。

【中图分类号】G642.3 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）08-0150-02

数学知识的重要特征在于具有严密的逻辑性，内容的抽象性，应用的广泛性。其特征也表明它是源于实践，其发现过程才是重要载体，更是深刻把握其逻辑严密，内容抽象的重要源头活水。[1]对于数学基础知识相对薄弱的民族院校大学生来讲，数学课堂简单、易懂是非常重要的指标。为了从理论教学上说明这一指标重要性，就必须经过理论教学来进行实践检验。大学数学内容是运用包含着大量符号的数学语言来表述的，因而数学探索能力训练能为学习其他学科提供最优化的途径。[2]本文从几个经典的数学理论出发，提出实践教学中的数学实验案例，从HPM（20世纪70年代，国际上一些关心数学教育的著名数学家与数学史家，联手发起了一场学术运动，专门研究数学史与数学教学法的相关问题）视角来解释经典数学理论的创造性思维，借此培养大学生的创造性思维。

一、HPM视角下介值定理创造性思维探索

大学微积分数学教材中都有介值定理：设函数f（x）在闭区间[a， b]上连续，且在该区间的端点有不同的函数值f（a）=A及f（b）=B，那么，对于A与B之间的任意一个常数C，在开区间（a，b）内至少有一點ξ∈[a， b]，使得f（ξ）=C（a<ξ

在HPM视角下，介值定理可以这样直观理解，它的特例是零点定理，当f（a）与f（b）异号时， f（c）=0至少有一解。对于介值定理和零点定理的应用，大多数的经典分析教材中都是给几个方程或函数，证明在某区间内至少有一个某定值点或零点。在此，我们可以利用初等数学中简单例子来揭示介值定理的创造性思维方式。比如：某人自上午8点开始从营地出发沿一山间小径登山，到达山顶的时间是下午5点；第二天他从上午8点开始沿着同一条路线下山，并于下午5点返回原地。试证在这条路线上存在一点，使得他在第二天到达这点的时间与第一天到达该点的时间相同。

从表面来看，这个问题比较复杂，但若我们换个角度来考虑，采用对称性思维，这个问题就变容易了。假定有甲、乙两个人，他们同时分别从山顶和山脚的营地出发，在该山间小径上相向而走。我们知道他们一定会在某一点而且只在该点相遇，这时他们各自的时间肯定是相同的。

这一对称原理的数学基础正是零点定理。设山脚营地为坐标原点，上山为正向；两人离原点的路程为他们各自的坐标，上山者为x，下山者为y。一开始x=0，y为整条路径的长度，即x-y<0；当登山者到达山顶、下山者到达原点时，y=0，x为整条路径的长度，即x-y>0。根据连续函数的性质，一定有一点使得x-y=0，即x=y。显然，同时到达同一点，也就意味着时间是完全一样的。再比如：在一块起伏不平的地面上摆放一张四腿方桌，是否一定能找到某个方位可使桌子放稳？

三、HPM视角下实数集的连续映射创造性思维探索

实数集包含的哲学其实是最深刻的哲学，因为数学里面最深刻而基本的难题就是实数集上面的连续统问题，它蕴含着丰富的人生哲学和宗教哲学，这也是民族院校数学课堂创造性思维探索的突破口。比如：区间（0，1）与（0，2）中的点都和整个实数空间的点一样多。

我们不直接验证这句话，而是通过验证一些哲理来说明它的正确性。“一刹那即一永恒”来自于佛教的经典《弥陀经》，“一刹那”在佛教里面是指最小的时间单位，该词意味着一个很短的时间可以和一个很长的时间完全对应起来；“壶中岁月长”属于道教的说法，意思也差不多；“度日如年”来源于生活哲学，过一天感觉像过了一年那么难受，生不如死。在此，它们都属于一维到一维的映射。我们只解释第一句话，后两句同理可得。据佛经《摩诃僧祗律》第十七卷记载：“一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜有三十须臾。”一日一夜有24个小时，由此可以算出：一刹那就等于0.018秒。若一条水平线段表示0到0.018秒，在其间我们任取一点Q，在线段上方任取一点P，在线段下方画一条平行直线。由于两点决定一条直线，所以P、Q两点的延长线跟下方直线有且只有一个交点R。可见，Q和R是一一对应的。当P趋近于Q时，P和Q的连线的延长线趋近于负无穷，P和0.018的连线的延长线趋近于正无穷。由此可知：一刹那跟一永恒是完全相等的。

以上的一些宗教和哲学说法在中国已经至少有上千年的流传历史，据说之后莱布尼茨（Liebnitz，1646-1716，德国数学家、哲学家）也发出同样的感慨。另外，还有不少数学家构造出一些怪异的曲线来实现不同维流形之间的一一映射，如皮亚诺 （Peano， 1858-1932，意大利数学家，是符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人）曲线是1维和2维流形之间的映射体现，希尔伯特 （Hilbert， 1862-1943， 德国数学家）曲线是2维和3维流形之间的映射体现等。所有这些都是实数集的无穷性、超穷性显示出来的奥妙。至今数学对它还只能作少许阐述，远谈不上彻底的理解。

按照本文的探索方式，通过西藏民族学院数学课堂的实践证明，HPM视角下民族院校数学课堂能给基础薄弱的大学生创造一种通俗易懂的学习条件。与此同时也是他们自己的思维与实践活动更易结合，这将成为他们在数学创造中产生新思想、创立新理论和提出新成果的起点。

参考文献：

[1]牟金保，民族院校高等数学课堂优化途径[J]. 课程教育研究. 2012（10）：137

[2]牟金保，中国数学兴衰新探[J].咸阳师范学院学报，2009，24（6）：59-62

[3]吴赣昌，高等数学[M].中国人民大学出版社，2006：66

[4]熊辉，数学建模，中国人民大学出版社，2011：46-50

作者简介：

牟金保（1984.3-），陕西宝鸡人，男，西藏民族学院教育学院教师讲师，研究方向：数学教育与数学史。