中学数学问题情境的创设及理解与解题过程的认知建构

梅海蓉

（山东省垦利实验中学 山东 东营 257500）

中学数学的教学要引导学生建立数学系统和网络，在理解的基础上形成良好的认知结构。随着中学数学教学改革的深入进行，在数学的教学方法上要探索问题情境的创设及其有效性的评价，并为开展创新教育打下良好的基础。《全日制义务教育数学课程标准》中指出：中学数学的教学要从学生原有的知识和经验出发，紧密联系学生的生活实际，向学生提供从事数学活动的机会，通过创设问题情境来激发学生对数学的兴趣，树立学好数学的愿望。

数学思想和数学方法是连接中学数学与高等数学的一条纽带和桥梁，中学数学的思想、方法和相联系的内容可以在高等数学中保留下来。中学数学的基本内容包括代数以及几何中的概念、公式和定理等，以及这些基础知识折射出来的数学思想和数学方法。数学知识包括表层知识和深层知识，表层知识指的是数学的基本知识和技能，深层知识则是指数学思想和数学方法，深层知识驾驭和引领表层知识，体现了数学的真正灵魂。中学数学教学中的建构性学习是对数学知识形成一种达到理解的理性的诉求，这里的理解过程实际上也是一种数学的认知结构反复建构的过程，而中学数学解题的认知过程则是一种更高级的知识建构的学习过程。

一、中学数学教学的认知及建构性探究活动

中学数学教师进行教学一般有两个阶段。第一阶段，首先由教师提供知识框架来帮助学生学习新知识，学生在教师帮助下进行模仿学习，这种模仿是智力上的自觉模仿，不是无意义的机械模仿。第二阶段，学生把模仿学习的结果迁移到其他类似的问题情境中，并将技能内化为自身的能力。因此，以学生为中心的数学教学改革的重点在于教师是否知道每个学生是在从事有实质价值的模仿性学习，还是在从事无意义的简单学习，以及教师需要做哪些指导才能促进每一个学生数学技能的提高。

在数学教学的认知过程中，数学教师首先要深刻了解和把握所教年级的教学目标，因为这些描述的目标基本反映了多数学生的最近发展区，而且是由相关学科的专家根据学生的数学思维发展水平研究确立的。例如，初中生的数学抽象思维水平和高中生不同，初中年级数学的教学目标就不同于高中数学的目标。[1]数学教师要为学生设置分层次递进的教学目标，对学生的数学发展不能采取一刀切的统一评价标准。通常情况下，数学课堂往往成为教师和一部分优等生的课堂，数学教学行动的参加者往往是教师和少数优等生，大部分学生往往成为数学课堂上的旁观者，这种教学现象的出现非常不利于课程教学效果的提高。为了更好地进行差异性的教学，数学教师需要了解学生学习数学新知识的生长点，确立关于学生的认知结构和思维形式的模型，从层次上区分学生，特别是要为学习困难的学生提供更多和细致的教学帮助，引导其掌握数学知识的本质。

中学数学课堂教学中，数学教师一般要针对几十名正在学习的学生，为他们提供有价值的教学援助，而现实情况是学生与学生的差别较大，每个人有不同的数学认知结构和思考习惯，因此在建构数学知识上也会有很大的区别。数学知识的建构性探究活动指的是学生学完一个章节后，自主地去建立一个内容丰富的知识网络系统，通过总结提炼数学的思想和方法，归纳出解题的规律和思路。这样的建构性探究活动对于学生养成良好的学习习惯和组建良好的认知结构是十分必要的。通常来讲，教师往往片面认识学生的建构学习能力，这在一定情况下是有好处的，因为教师只能采取某几种教学方式，对不同的年级提出不同的要求，这样会较为容易有效地实施教学，并逐步增加学习中的创造性内容。

二、创设中学数学教学中的问题情境

根据命题等价理论，如果原命题成立，则其逆否命题一定成立，但其逆命题却不一定成立。使用这种命题等价的数学思想和方法，可以从不同的方向来论证或转化命题的方式，也可以加强认识和理解命题的意义。为解决一些数学命题问题，在中学数学课堂教学中创设更多有效的问题情境可以激发学生们主动的认知参与、情感参与和行为参与意识，培养学生的兴趣意识和数学思维能力。数学问题情境的创设就是指数学教师以某个具体的教学情境为载体，致力于把数学思想和方法融合于这个具体的教学情境中，从而帮助学生克服数学抽象性思维上的困惑，分析和解决数学上的疑难问题。因此，真正能够启迪学生思维的问题情境就是将数学上的一些枯燥问题巧妙地贯穿于设定的具体情境中，而具体的情境又能包含数学的本质内容，学生就可以通过这些问题情境进行数学意义上的观察、判断和总结，从而最终解决数学的问题。

数学这门学科实际上是解释世界的一种语言类工具，是对自然语言的一种补充和提高，可以完善信息的交流和存储。数学知识主要是指数学概念、公式、定理、法则等数学规则。数学这门学科的语言包括文字、语句和一些逻辑符号等，其中，逻辑符号可以帮助人们提升数学思维，正因为此，中学数学问题情境的创设要教会学生怎样使用数学符号、理清数学符号语言的语法特点等。数学知识的产生包括生活经验和数学自身的逻辑体系发展两个方面，通常来讲，来自学习者以往经验的数学相关知识和实际生活的关系更加紧密，如果我们能创设一些合适的数学问题情境，结合实际来还原这些数学知识的真实生命，就能更好地激发学生的求知欲，并让学生通过自我活动和思考将这些知识建构起来。举个例子，初等数学中在教学“分数的概念”时，问题情境的创设可以提出：如果一共有2个苹果和3个面包，需要给2个小孩平均分开，怎样用数学的概念表示呢？2个苹果每个小孩分得1个，整数的概念很清晰。3个面包每人分得1个后，还剩1个怎么办呢？每人只能再分得半个，“半个”用数学表示就是分数的概念。这种问题情境真实地还原了生活中数学上“分数”的一种用途，即当不能用整数来表示某种数学结果的时候，就可以用分数来表示。

我们知道，方程是建立已知和未知之间数量关系的一种思想方法，中学数学中的代数学就是以方程这个概念为线索开展描述的，解方程的教学实践和效果关系到学生对有关数学概念、定理和运算规则等的理解程度，解方程也是破解数学上应用题型的一种主要方式。从数到式、列代数式、以字母表示数、求代数式值和解方程的降次消元等，都反映了一种化归的数学思想和方法。化归的转换方法可以提高学生的数学技能和探究发现能力，化归也能建立起一种对立面之间的辩证统一关系，整个中学数学的教学在一定意义就是贯彻化归的辩证思想的教学。中学数学教师要教会学生分析、渗透和化解对立面，充分利用特殊化、一般化等方法实现化归，运用辩证思维的规律来调控数学思维活动。如果我们能创设生动有趣的数学问题情境，将数学技能的获得融入这些快乐的情境之中，那么将有助于培养学生数学思维的基本技能。

在中学数学教学中，如果要使学生真正感悟数学知识和培养数学的创新能力，并理解数学的理性精髓，就应该让学生积累丰富的数学活动的亲身经验，这些经验包括学生在数学有关活动中形成的情绪体验、感性知识和应用意识等。情绪体验是指学生对于数学的一些好奇和兴趣、活动中获得的成功的感受、对数学严谨性体验以及对数学的审美感觉等[2]；感性知识是指一些学生针对个人的过程性知识；应用意识则包括勇于实践数学知识的信念、通过数学提出和解决问题的意识以及数学的创新意识等。因此，为了能激发学生的真实需要和活动的积极性，在课堂教学中创设一些蕴含数学意义的真实活泼的情境就是非常必要的一项任务。情境应建立在学生已熟悉的知识经验和生活经验的基础上，可以方便学生轻松入门，进而可以激发学生去思考和探索新的问题。例如，在教学统计表、条形统计图和折线统计图的概念时，可以创设这样的问题情境：教师在教学中先让学生收集和整理数据，写出中国近10年的国民经济增长的统计表和条形统计图，然后，教师展示这些数据的折线统计图，提出思考问题。学生则通过观察、判断和比较3种统计方式的不同特点，理解通过折线统计图可以看出数据的变化趋势，特别是可以直观地预测数据今后的发展势头，这对国家制定合理的政策意义重大。借助类似这样的问题情境，学生深刻感悟到了统计的数学思想。在整个教学环节中，提出合理的数学问题是教学的前提，创设有效的数学问题情境是教学的关键，提高学生的数学分析和应用能力是根本目的。作为数学教师，要根据不同地域、不同水平的学生及不同的教学内容，创造一些个性鲜明的数学问题情境，并善于总结和积累，建立情境教学的资源库。

三、数学问题的理解与解题的认知过程

中学数学学习与其他学科学习的一个最大区别就是虽然你能把相关数学知识点背得很熟，但却往往不能应用这些知识解决一些简单的数学问题，这通常是因为没有理解数学知识，或没有建立组织良好的认知结构。数学理解的本质就是数学知识的系统化、结构化和网络化，一个数学的概念或者定理如果被理解了，它就成为学习者的内部认知网络内容的一部分，而理解的程度则是由学习者联想的范围和联想的深度决定的。因此，数学理解可以认为就是学生在头脑中形成一种网络化的认知结构，而不是记住一些他人灌输的、零散的知识碎片，因为机械的零碎知识是不能用于解决实际问题的。数学理解实质上是数学学习的建构性活动，其形成的机制是重新组织，即学习者需要依照自己原来的知识和经验，通过与环境之间的相互交流，积极地建构当前信息具有的含义，也就是一个新知识的建构与新知识理解的进程，即生成了新的意义。按照皮亚杰的认知理论，在数学理解的过程中，同化和顺应是新的和老的经验相互影响的两种基本方式。同化方式就是学生将最新学习的知识归入和合并到原有的数学认知结构系统之中，也就是说，学生是以旧的知识和经验来理解新接受的信息，即同化到了已经确立的认知系统中，假如输入的信息与现有的认知系统不吻合，就要对以前的数学认知系统进行整合或重组，从而建立起一个新的认知系统，并形成一种新的平衡状态，这样的一个过程就叫作顺应。[3]

中学数学的学习过程具有持续性和积累性，在已有的知识和经验基础上去再学习才能获取新知识。学生以前的认知系统和知识结构对新的学习过程会带来一定的影响，而新知识的获取过程也会改造学生以前的认知结构，扩展以前的知识经验，提升以前的知识和技能水平，这就是所谓的知识的迁移。中学数学教师不必要教给学生全部的知识和技能，但需要教会和培养学生获取新知识、克服困难的一种迁移能力。这里，数学的认知结构可以理解为在学习者的头脑中生成数学知识的一种表现方式，不但包括原理性和陈述性的知识，而且包括行动性、过程性的知识以及蕴含其中的一些数学观念。学生依照已有知识结构将新的知识系统地组织起来，组成一个联系密切的新的知识网络系统，从另一个角度讲就是一个重新建构数学知识的过程。由此说来，建构是数学知识迁移的基础，学生个体独立建构的知识之间可以相互渗透和融合；结构转移是数学知识迁移的实质，知识的结构化程度影响着迁移的范围；数学知识迁移的实现方式是联系和联想，解决新出现的问题的唯一方法是善于从面对的问题中联想到网络中的其他相关联的数学知识和能力。[4]

中学数学学习中，仅仅依靠机械地套用现有的概念、算法、定理和公式，并不能解决所有问题，需要首先重新识别问题，采取过滤和筛选的方法，跟踪不断转换的问题空间，选用有关的定理、公式和算法等解决策略，经过重新建构和整合，最后找到问题的答案。通常来讲，中学数学解题的认知过程如图1所示。

中学数学的解题过程中，对于不同的数学问题情境，学生需要重新调整、组合或者打破原先的认知结构，才可以深刻理解和认识数学问题中所包含的元素的复杂关系，从而识别多个不同类型问题的实质性区别。所以，中学数学的解题过程既可以摄取和运用已有的知识与技能，也可以建构性地学习数学的新知识。这是一种数学学习的创新行为，可以积累策略性知识、程序性知识和过程性知识的经验，从而建构起一种运作自如的认知结构网络。数学解题活动也是一个双向建构的学习过程，一是有助于学生建构一些全新的问题情境，二是可以强化原有知识和经验的整合和应用，进行复习、巩固和提炼，从而对原有的数学认知结构进行调整和补充。[5]

图1 数学解题的认知过程

综上所述，数学思想和方法本质上是指物质世界的空间方式和定量关系映射到人的意识形态之中，通过思维加工形成的一种工具。通过创设教学情境，教学中不同程度地渗透了模型、变换、集合、极限、函数、类比、对应等数学思想和方法。数学问题情境是学生领悟数学思想的有效载体，能够灵活而生动地去驾驭和运用已学会的数学知识和方法，深化数学认知的建构和理解，并完成数学的解题过程，最终体现出数学思想的理性之美。[6]▲

[1]肖栋坡,郭宗庆.基于潜在构建区理论的中学数学教学[J].教学与管理,2011（5）：91-92.

[2]徐东星.数学问题情境创设的有效性探究[J].教学与管理,2010（12）：127-128.

[3]周友士,柏传志.数学学习建构性之特征[J].教学与管理,2011（2）：84-86.

[4]张和平,贾长虹.操作·掌握·领悟:数学思想方法教学的有效模式[J].教学与管理,2009(5)：128-129.

[5]张建伟.基于问题解决的知识建构[J].教育研究,2000（10）：58-62.

[6]贾长虹,叶留青.新课程教学中数学应用意识和能力的培养[J].教学与管理,2006（8）：88-89.