例析最值问题的处理策略

许万成

中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各领域之中，在生产实践中也有广泛的应用.解决这类问题，要求学生具有坚实的数学基础，也要严谨、全面分析问题和灵活、综合地解决问题的能力.因此，最值问题是历年来高考的难点与热点.本文就最值问题的常用处理方法作一些简单介绍.

策略一：配方法

形如或者可以化为y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，可以先利用配方法找出其对称轴，依据二次函数的极值点或者边界点的取值确定函数的最值，解题过程中，要特别关注自变量的取值范围.

例1已知函数f（x）=x2+4x+6（x∈[-4，-1]），则f（x）的最大值为，最小值为.

〖TPDP18.TIF；S+1mm；Z3mm，Y〗

解：f（x）=（x+2）2+2，开口向上，对称轴为x=-2，如图所示，x=-2在区间[-4，-1]内，区间中点x0=-〖SX（〗52，对称轴x=-2在区间中点的右侧，所以f（x）max=f（-4）=6，f（x）min=f（-2）=2.

评注：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的最值不但与图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等有关，而且还与它的定义域有密切关系，具体可分为以下几种情况.

①若定义域为全体实数，则在顶点处取得最值；

②若定义域为闭区间[m，n]则有以下两种情况：

中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各领域之中，在生产实践中也有广泛的应用.解决这类问题，要求学生具有坚实的数学基础，也要严谨、全面分析问题和灵活、综合地解决问题的能力.因此，最值问题是历年来高考的难点与热点.本文就最值问题的常用处理方法作一些简单介绍.

策略一：配方法

形如或者可以化为y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，可以先利用配方法找出其对称轴，依据二次函数的极值点或者边界点的取值确定函数的最值，解题过程中，要特别关注自变量的取值范围.

例1已知函数f（x）=x2+4x+6（x∈[-4，-1]），则f（x）的最大值为，最小值为.

〖TPDP18.TIF；S+1mm；Z3mm，Y〗

解：f（x）=（x+2）2+2，开口向上，对称轴为x=-2，如图所示，x=-2在区间[-4，-1]内，区间中点x0=-〖SX（〗52，对称轴x=-2在区间中点的右侧，所以f（x）max=f（-4）=6，f（x）min=f（-2）=2.

评注：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的最值不但与图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等有关，而且还与它的定义域有密切关系，具体可分为以下几种情况.

①若定义域为全体实数，则在顶点处取得最值；

②若定义域为闭区间[m，n]则有以下两种情况：

中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各领域之中，在生产实践中也有广泛的应用.解决这类问题，要求学生具有坚实的数学基础，也要严谨、全面分析问题和灵活、综合地解决问题的能力.因此，最值问题是历年来高考的难点与热点.本文就最值问题的常用处理方法作一些简单介绍.

策略一：配方法

形如或者可以化为y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，可以先利用配方法找出其对称轴，依据二次函数的极值点或者边界点的取值确定函数的最值，解题过程中，要特别关注自变量的取值范围.

例1已知函数f（x）=x2+4x+6（x∈[-4，-1]），则f（x）的最大值为，最小值为.

〖TPDP18.TIF；S+1mm；Z3mm，Y〗

解：f（x）=（x+2）2+2，开口向上，对称轴为x=-2，如图所示，x=-2在区间[-4，-1]内，区间中点x0=-〖SX（〗52，对称轴x=-2在区间中点的右侧，所以f（x）max=f（-4）=6，f（x）min=f（-2）=2.

评注：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的最值不但与图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等有关，而且还与它的定义域有密切关系，具体可分为以下几种情况.

①若定义域为全体实数，则在顶点处取得最值；

②若定义域为闭区间[m，n]则有以下两种情况：