例析运用分类讨论思想的解题策略

许万成

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论思想”.

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用.因此，有关分类讨论思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.

分类讨论思想在哪些题型中能够得到运用呢？笔者根据平时的教学，现将归纳出来的几种题型利用例题形式展现出来，希望能够给同学们提供一些帮助.

题型一、问题中含有变量或者参数的往往要进行分类讨论

数学问题中含有变量或者参数，这些变量或者参数取不同的值时会导致不同的结果，因而需要对参数进行分类讨论.

例1若是对任意x∈，不等式|x|≥ax，恒成立，求实数a的取值范围.

解析：若x>0，则有a≤1，恒成立，

若x=0，则有a∈，

若x<0，则有a≥-1.

综上所述-1≤a≤1时，不等式|x|≥ax恒成立.

评注：在解含有参数的一元一次不等式，二次不等式时，要注意弄清引起分类讨论的主要原因，分类时要做到不漏、不重.

例2若不等式mx2+mx+2>0，对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围.

分析：解此题时，需要注意到m=0的情形.

当m≠0时，易知f（x）=mx2+mx+2是关于x的二次函数，要使其恒大于0，需要使其图象开口向上，且与x轴没有交点，即需要m>0且Δ<0.

当m=0时，显然不是二次函数，需要另行处理.

解：（1）当m≠0时，mx2+mx+2>0，对于一切x恒成立时有，

〖JB（{〗m>0Δ=m2-8m<0解得：0

（2）当m=0时，原不等式化为2>0，显然成立.

综合（1）、（2）可得m∈[0，8）.

评注：关于x的不等式：ax2+bx+c>0恒成立的充要条件为〖JB（{〗a>0Δ<0或〖JB（{〗a=b=0c>0.

题型二、问题给出的条件具有不同的情形，要分类讨论

有些概念、定理、公式及运算法则本身就包含了多种情况，所以碰到这类问题时一般需要进行分类讨论.

例3已知函数f（x）=〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗-x+1，x<0x，x≥0〖HL）〗，求解不等式x+（x+1）f（x+1）≤1.

解析：（1）当x+1<0时，f（x+1）=-（x+1）+1=-x，

原不等式可化为x+（x+1）×（-x）≤1，

解得x<-1.

（2）当x+1≥0时，f（x+1）=x+1，

原不等式可化为x+（x+1）2≤1，

解得-3≤x≤0.故-1≤x≤0.

综上所述x∈（-∞，0].

评注：本题考查了不等式的解法以及对分段函数概念的理解，由于所给不等式中含有f（x+1），因此需要利用分段函数的定义域将f（x+1）化为有x的式子，最后才能解不等式.

题型三、解题过程不能统一表述，必须进行分类讨论

例4设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3=2，S4=5S2，求an的通项公式.

解：由题意可知：a1≠0，Sn=〖SX（〗a1（1-qn）1-q，则

〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗a1q2=2（1）〖SX（〗a1（1-q4）1-q=5×〖SX（〗a1（1-q2）1-q（2）〖HL）〗

由（2）得1-q4=5（1-q2），即（q2-4）（q2-1）=0，

得（q-1）（q+1）（q-2）（q+2）=0，

因为q<1，解得q=-1或q=-2.

当q=-1时，代入（1）得a1=2，

即an=2（-1）n-1，

当q=-2时，代入（1）得a1=〖SX（〗12，

即an=〖SX（〗12（-2）n-1.

评注：本题中由于公比的取值不同，通项公式也不一样，需要分类写出.

题型四、有关几何问题中，元素的形状位置不确定的需要进行分类讨论

例5已知双曲线的中心在坐标原点，一条渐近线方程是x-2y=0，求它的离心率.

分析：双曲线的渐近线方程已知，因此可设出共渐近线的双曲线系方程，由于双曲线焦点不确定，需要进行分类讨论.

解：因为双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，因此双曲线方程可设为x2-4y2=λ（λ≠0）.

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论思想”.

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用.因此，有关分类讨论思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.

分类讨论思想在哪些题型中能够得到运用呢？笔者根据平时的教学，现将归纳出来的几种题型利用例题形式展现出来，希望能够给同学们提供一些帮助.

题型一、问题中含有变量或者参数的往往要进行分类讨论

数学问题中含有变量或者参数，这些变量或者参数取不同的值时会导致不同的结果，因而需要对参数进行分类讨论.

例1若是对任意x∈，不等式|x|≥ax，恒成立，求实数a的取值范围.

解析：若x>0，则有a≤1，恒成立，

若x=0，则有a∈，

若x<0，则有a≥-1.

综上所述-1≤a≤1时，不等式|x|≥ax恒成立.

评注：在解含有参数的一元一次不等式，二次不等式时，要注意弄清引起分类讨论的主要原因，分类时要做到不漏、不重.

例2若不等式mx2+mx+2>0，对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围.

分析：解此题时，需要注意到m=0的情形.

当m≠0时，易知f（x）=mx2+mx+2是关于x的二次函数，要使其恒大于0，需要使其图象开口向上，且与x轴没有交点，即需要m>0且Δ<0.

当m=0时，显然不是二次函数，需要另行处理.

解：（1）当m≠0时，mx2+mx+2>0，对于一切x恒成立时有，

〖JB（{〗m>0Δ=m2-8m<0解得：0

（2）当m=0时，原不等式化为2>0，显然成立.

综合（1）、（2）可得m∈[0，8）.

评注：关于x的不等式：ax2+bx+c>0恒成立的充要条件为〖JB（{〗a>0Δ<0或〖JB（{〗a=b=0c>0.

题型二、问题给出的条件具有不同的情形，要分类讨论

有些概念、定理、公式及运算法则本身就包含了多种情况，所以碰到这类问题时一般需要进行分类讨论.

例3已知函数f（x）=〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗-x+1，x<0x，x≥0〖HL）〗，求解不等式x+（x+1）f（x+1）≤1.

解析：（1）当x+1<0时，f（x+1）=-（x+1）+1=-x，

原不等式可化为x+（x+1）×（-x）≤1，

解得x<-1.

（2）当x+1≥0时，f（x+1）=x+1，

原不等式可化为x+（x+1）2≤1，

解得-3≤x≤0.故-1≤x≤0.

综上所述x∈（-∞，0].

评注：本题考查了不等式的解法以及对分段函数概念的理解，由于所给不等式中含有f（x+1），因此需要利用分段函数的定义域将f（x+1）化为有x的式子，最后才能解不等式.

题型三、解题过程不能统一表述，必须进行分类讨论

例4设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3=2，S4=5S2，求an的通项公式.

解：由题意可知：a1≠0，Sn=〖SX（〗a1（1-qn）1-q，则

〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗a1q2=2（1）〖SX（〗a1（1-q4）1-q=5×〖SX（〗a1（1-q2）1-q（2）〖HL）〗

由（2）得1-q4=5（1-q2），即（q2-4）（q2-1）=0，

得（q-1）（q+1）（q-2）（q+2）=0，

因为q<1，解得q=-1或q=-2.

当q=-1时，代入（1）得a1=2，

即an=2（-1）n-1，

当q=-2时，代入（1）得a1=〖SX（〗12，

即an=〖SX（〗12（-2）n-1.

评注：本题中由于公比的取值不同，通项公式也不一样，需要分类写出.

题型四、有关几何问题中，元素的形状位置不确定的需要进行分类讨论

例5已知双曲线的中心在坐标原点，一条渐近线方程是x-2y=0，求它的离心率.

分析：双曲线的渐近线方程已知，因此可设出共渐近线的双曲线系方程，由于双曲线焦点不确定，需要进行分类讨论.

解：因为双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，因此双曲线方程可设为x2-4y2=λ（λ≠0）.

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论思想”.

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用.因此，有关分类讨论思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.

分类讨论思想在哪些题型中能够得到运用呢？笔者根据平时的教学，现将归纳出来的几种题型利用例题形式展现出来，希望能够给同学们提供一些帮助.

题型一、问题中含有变量或者参数的往往要进行分类讨论

数学问题中含有变量或者参数，这些变量或者参数取不同的值时会导致不同的结果，因而需要对参数进行分类讨论.

例1若是对任意x∈，不等式|x|≥ax，恒成立，求实数a的取值范围.

解析：若x>0，则有a≤1，恒成立，

若x=0，则有a∈，

若x<0，则有a≥-1.

综上所述-1≤a≤1时，不等式|x|≥ax恒成立.

评注：在解含有参数的一元一次不等式，二次不等式时，要注意弄清引起分类讨论的主要原因，分类时要做到不漏、不重.

例2若不等式mx2+mx+2>0，对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围.

分析：解此题时，需要注意到m=0的情形.

当m≠0时，易知f（x）=mx2+mx+2是关于x的二次函数，要使其恒大于0，需要使其图象开口向上，且与x轴没有交点，即需要m>0且Δ<0.

当m=0时，显然不是二次函数，需要另行处理.

解：（1）当m≠0时，mx2+mx+2>0，对于一切x恒成立时有，

〖JB（{〗m>0Δ=m2-8m<0解得：0

（2）当m=0时，原不等式化为2>0，显然成立.

综合（1）、（2）可得m∈[0，8）.

评注：关于x的不等式：ax2+bx+c>0恒成立的充要条件为〖JB（{〗a>0Δ<0或〖JB（{〗a=b=0c>0.

题型二、问题给出的条件具有不同的情形，要分类讨论

有些概念、定理、公式及运算法则本身就包含了多种情况，所以碰到这类问题时一般需要进行分类讨论.

例3已知函数f（x）=〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗-x+1，x<0x，x≥0〖HL）〗，求解不等式x+（x+1）f（x+1）≤1.

解析：（1）当x+1<0时，f（x+1）=-（x+1）+1=-x，

原不等式可化为x+（x+1）×（-x）≤1，

解得x<-1.

（2）当x+1≥0时，f（x+1）=x+1，

原不等式可化为x+（x+1）2≤1，

解得-3≤x≤0.故-1≤x≤0.

综上所述x∈（-∞，0].

评注：本题考查了不等式的解法以及对分段函数概念的理解，由于所给不等式中含有f（x+1），因此需要利用分段函数的定义域将f（x+1）化为有x的式子，最后才能解不等式.

题型三、解题过程不能统一表述，必须进行分类讨论

例4设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3=2，S4=5S2，求an的通项公式.

解：由题意可知：a1≠0，Sn=〖SX（〗a1（1-qn）1-q，则

〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗a1q2=2（1）〖SX（〗a1（1-q4）1-q=5×〖SX（〗a1（1-q2）1-q（2）〖HL）〗

由（2）得1-q4=5（1-q2），即（q2-4）（q2-1）=0，

得（q-1）（q+1）（q-2）（q+2）=0，

因为q<1，解得q=-1或q=-2.

当q=-1时，代入（1）得a1=2，

即an=2（-1）n-1，

当q=-2时，代入（1）得a1=〖SX（〗12，

即an=〖SX（〗12（-2）n-1.

评注：本题中由于公比的取值不同，通项公式也不一样，需要分类写出.

题型四、有关几何问题中，元素的形状位置不确定的需要进行分类讨论

例5已知双曲线的中心在坐标原点，一条渐近线方程是x-2y=0，求它的离心率.

分析：双曲线的渐近线方程已知，因此可设出共渐近线的双曲线系方程，由于双曲线焦点不确定，需要进行分类讨论.

解：因为双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，因此双曲线方程可设为x2-4y2=λ（λ≠0）.