二面角的平面角

谭萍

摘 要：求二面角的平面角的大小，关键是找出或作出二面角的平面角。

关键词：二面角；平面角；转化

求二面角的平面角的大小是高中立体几何的一个重要内容，也是一个难点。解决有关二面角问题的关键是找出或作出二面角的平面角，通过找出或作出二面角的平面角，使空间问题转化为平面问题来解决。学生往往不是不会计算，而是找不到二面角的平面角。

作二面角的平面角，常用方法一般有三种：（1）定义法；（2）三垂线定理法；（3）垂面法。

下面看几例具体的例子：

一、根据二面角的平面角的定义直接找出或作出二面角的平面角

例1.二面角α-l-β为60°，A点和B点分别在α、β内，且到棱l的距离分别是2和4，若线段AB=10，试求：

（1）直线AB与棱所成的角；

（2）直线AB与平面α所成的角。

分析：求解此题，首先要作出二面角α-l-β的平面角，并将其构造到某一个三角形中，进而应用平面几何的知识求解。

由题意，在面α内作AD⊥l，在面β内作BE⊥l，作DC■EB，联结BC、AC，易知CD⊥l，则∠ADC为二面角α-l-β的平面角，等于6°，如图1再进一步求解就比较容易了。

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定义法：过棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，得到二面角的一个平面角。

如图2，以二面角α-a-β的棱上的任意一点O为端点，在平面α、β内分别引垂直于棱a的射线OA、OB，那么∠AOB就是二面角的平面角。

二、三垂线定理法

例2.过正方形ABCD的頂点A作SA⊥平面ABCD，并使平面SBC、平面SCD与底面ABCD都成45°角，求二面角B-SC-D的大小。

解：如图3，过点B作BE⊥SC于E，联结ED。

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∵SA⊥底面ABCD，

∴BA为SB在底面ABCD内的射影。

∵AB⊥BC，∴SB⊥BC。

∴∠SBA为平面SBC与平面ABCD所成的角，

即∠SBA=45°，同理∠SDA=45°。

设SA=a，则SB=SD=■a，

则△SCB≌△SCD.

∵BE⊥SC，则ED⊥SC，

∴∠BED为二面角B-SC-D的平面角.

∵SB=■a，BC=a，SC=■a

∴BE=DE=■a

由余弦定理得cos∠BED=-■

∴∠BED=120°。

即二面角B-SC-D的大小为120°。

总之，通过以上举例分析可知，要求二面角的平面角，首先应利用定义直接找或作出二面角的平面角，当直接作不易求解时，再通过作棱的垂面作二面角的平面角。

（作者单位 湖北省建始县中等职业技术学校）

？誗编辑 郭晓云