抽屉原理的应用

许强

摘 要：根据抽屉原理，在运用抽屉原理解决实际问题时，对不同构造抽屉的方法进行了总结、归纳，以及详细的分类。

关键词：归纳；应用；抽屉原理

Abstract：Based drawer principle，the principle of solving practical problems in the user of a drawer，the drawer of a different tectonic summary summarized，and a detailed breakdown.

Key words：induction；using；principle of drawer.

中图分类：O165

一、基本原理

抽屉原理是数学中的一个重要原理，这个原理可以用一个常识性事实来说明。即：如果苹果的数目大于抽屉的数目，则一定有某个抽屉至少放入了两个苹果。正是这个简单的原理，可以帮助我们解决不少复杂的、趣味的、富有挑战的问题。我们先来看它的命题和相关原理。

引理1：把n+1个物体分成n个组，那么至少有一个组里含有不少于两个物体。

上面这个原理便是著名的抽屉原理，又名鸽巢原理，或狄得克雷原理。下面是由抽屉原理推广得出的命题。

引理2：把m（m≥1）个物体分成n（n

引理3：（抽屉原则1）把m个物体，分别放入在n只抽屉里（n

k=■（当n■m）■+1（当n不整除m时）

式中，■表示不超过■的最大整数。

引理4：（抽屉原则2）设m1，m2，…，mn都是正整数，并有m1+m2+…+mn-n+1个物体放进n个抽屉里，则第一个抽屉里至少有m1个物体，或第二个抽屉里至少有m2个物体……或第n个抽屉里至少有mn个物体，至少其中之一成立。

引理5：（广抽屉原则）把无穷多个元素的集合按任一确定的方式分成有限个子集合，必定至少有一个子集合包含有无穷多个元素。

二、抽屉原理在实际中的应用

运用抽屉原理解题，首先要搞清需要对哪些元素进行分类，其次要找出分类规则，最后应用抽屉原理得出结论。这里关键是构造抽屉，现在我们看一下构造抽屉的基本技巧和方法。

1.分割图形造抽屉

例1.在边长为1的正方形内任给5个点，试证，其中必有两个点，他们之间距离不大于■。

证明：由题意分析，应设法把正方形分成四个“抽屉”，并且每个抽屉中任意两点的最大距离不超过■。根据上述两点，我们选择单位正方形分成四個边长为■的小正方形的办法来构造抽屉。由抽屉原理知，至少有一个小正方形内至少有两个点，又因为小正方形内任意两点的距离不大于■，所以命题得证。

2.对整数集合分类造抽屉

例2.对任意的1997个自然数a1，a2，…，a1997，中，总可以找到其中若干个数使他们的和是1997的倍数。

证明：考察a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+…+a1997这1997个数，他们被1997除后的余数至多有0，1，2，…，1996这1997个类。

（1）若余数中有某个为0，问题显然是获证。

（2）若其中之一没有余数为0时，问题变为1997个数归入1996个类：“余1类”，“余2类”，…，“余1996类”。至少有两个数属于同一类。不妨设两个数为a1+a2+…+am与a1+a2+…+am+am+1+…+ak（m

3.使用数偶造抽屉

例3.在坐标平面上，任意取5个整点，其中一定存在两个整点，他们的连线中心仍是整点。

证明：平面上整点的坐标是有序整数对（x，y），对其按整数奇偶性分类，一共有四类，即：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），这样就造成了四只“抽屉”。五个整点的坐标与四个抽屉对照，至少有两个坐标奇偶性相同。不妨设这两个整点是A1（x1，y1），A2（x1，y1），由于x1与x2，y1与y2的奇偶性相同，所以■，■均为整数，即线段A1A2的中点（■，■）是一个整点。

4.依对象的状态进行分类构造抽屉

例4.围着一张可转动的圆桌，均匀地放10把椅子。在桌上对着椅子放着10人的名片，当10人随意入座后，发现谁都没有对上自己的名片。求证：适合地转动桌子，至少能使两人对上自己的名片。

证明：将桌子按逆时针旋转，每转36°就得到一种名片与人对应的状态。总计有10种不同状态。在这10种状态中，每人都有一次机会对着自己的名片，即人与自己的名片共有10次对号。由于最初的状态里，谁都没有与自己的名片对上号。即人与自己名片对上10次是分布在9个状态里，故必有一个状态，至少有两人与名片对上号。

5.特殊抽屉构造方法

例5.在100个连续自然数1，2，…，99，100中，任取51个数。试证明：在51个数中一定有两个数，其中一个是另一个倍数。

证明：一个正整数要么是奇数，要么是偶